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Identidades trigonométricas

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Las identidades trigonométricas son ecuaciones que contienen funciones trigonométricas.

Razones trigonométricas

Dibujo del triángulo rectángulo para el cálculo de las razones trigonométricas

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, la comparación por su cociente de sus tres lados a, b y c.

Sea α uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo.

Razones trigonométricas inversas

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Las razones trigonométricas inversas son los inversos multiplicativos de las razones trigonométricas. Éstas son:

  • Cosecante (csc): es la razón inversa del seno. Es decir, csc α · sen α=1.
  • Secante (sec): la razón inversa del coseno. Es decir, sec α · cos α=1
  • Cotangente (cot): es la razón inversa de la tangente. También en este caso, cot α · tan α=1

Relación entre razones trigonométricas


Tabla de la relación entre razones trigonométricas.

Nota: el signo ± que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esté el ángulo.

Relaciones trigonométricas básicas

Ángulos complementarios

Ángulos suplementarios

Ángulos conjugados

Ángulos opuestos

Ángulos que difieren 90º

Ángulos que difieren 180º

Transformaciones de razones trigonométricas

Razones trigonométricas del ángulo suma

Razones trigonométricas del ángulo resta

Razones trigonométricas del ángulo doble

Razones trigonométricas del ángulo mitad

Razones trigonométricas del ángulo triple

Teorema del seno

El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los ángulos de un triángulo. Éste enuncia que:

Dibujo del triángulo con sus tres lados y ángulos

Cada lado de un triángulo (a, b y c) es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto (A, B y C).


Fórmula del teorema del seno

Dibujo del triángulo circunscrito en una circunferencia

La razón entre un lado y el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro (el doble del radio, 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triángulo.

Es decir, todas las razones entre cada lado (a, b y c) y el seno del ángulo opuesto (A, B y C) son directamente proporcionales y dicha proporción es 2R.


Fórmula del teorema del seno siendo las razones proporcionales al diámetro de la circunferencia en la que se circunscribe el triángulo.

Teorema del coseno

El teorema del coseno relaciona un lado del triángulo con los otros dos y el ángulo que forman éstos. El teorema enuncia que:

Dibujo del triángulo con sus tres lados y ángulos

El cuadrado de un lado (a, b o c) cualquiera de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del ángulo (A, B o C) que forman.


Fórmula del teorema del coseno

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras para cualquier triángulo.

De hecho, si el ángulo A fuese recto (90º), su coseno seria cero, quedando: a2 =  b2+c2. Si el ángulo A fuese obtuso, es decir >90º, entonces el coseno sería negativo.

Teorema de la tangente

El teorema de la tangente relaciona las longitudes de dos lados de un triángulo con las tangentes de los dos ángulos opuestos a éstos. Éste enuncia que:

Dibujo del triángulo con sus tres lados y ángulos

La razón entre la suma de dos lados (a, b o c) de un triángulo y su resta es igual a la razón entre la tangente de la media de los dos ángulos opuestos a dichos lados y la tangente de la mitad de la diferencia de éstos.


Fórmula del teorema de la tangente

5 Respuestas

  1. Estan bien todas las formulas, pero a mi criterio seria interesante que colocaran de donde surgen, porque solo dan el resultado no de donde surgen, para mi esta un poco falto en explicacion de origen, y asi se entenderia mejor.

  2. Gabriel dice:

    Tengo una duda cos de alfa por cos de beta más sen de alfa por sen de beta, es igual a cos (alfa menos beta).

  3. victornavendaño dice:

    excelente aclaratoria muy positiva

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