Cosecante

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La cosecante es la razón trigonométrica recíproca del seno. Es el recíproco o el inverso multiplicativo del seno, es decir csc α · sen α=1.

La cosecante del ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a).

Su abreviatura es csc o cosec.

Cosecante de ángulos característicos

La cosecante de los ángulos más característicos es:

Características de la cosecante

• Dominio: (excepto a · π), siendo a un número entero. O esta casuística: x≠±π; ±2π; ±3π; … (es decir, múltiplos de π).
• Recorrido de la función:
• Simetría: dado que csc (-x) = -csc (x) entonces csc (x) es una función impar y su gráfica es simétrica con respecto al origen (0, 0).
• Crecimiento y decrecimiento: tomando el período de 0 a 2π, csc (x) crece en los intervalos (π/2, π) y (π, 3π/2), y decrece en los intervalos (0, π/2) y (3π/2, 2π).
• Límites: Los límites cuando x se acerca a π + k · π no existen ya que los valores de la función oscilan entre +∞ y −∞. Por tanto, no existen asíntotas horizontales. Esta es una función periódica con período 2π.
• Derivada de la función:
• Integral de la función:
  

Representación gráfica de la función cosecante

La función es periódica de período 360º (2π radianes), por lo que esta sección de la gráfica se repetirá en los diferentes períodos.

Representación geométrica

Relaciones con las restantes razones trigonométricas

• Relación con el seno:
  
• Relación con el coseno:
  
• Relación con la tangente:
  
• Relación con la secante:
  
• Relación con la cotangente:
  

(1) Nota: el signo que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esté el ángulo.

Cosecante del ángulo complementario, suplementario, conjugado y opuesto

• Cosecante del ángulo complementario:
  
• Cosecante del ángulo suplementario:
  
• Cosecante del ángulo conjugado:
  
• Cosecante del ángulo opuesto:
  
• Cosecante de ángulos que difieren 90º:
  
• Cosecante de ángulos que difieren 180º:
  

Otras razones trigonométricas inversas

Las razones trigonométricas inversas son los inversos multiplicativos de las razones trigonométricas. Éstas son:

• Secante (sec): la razón inversa del coseno. Es decir, sec α · cos α=1.
  
• Cotangente (cot): es la razón inversa de la tangente. También en este caso, cot α · tan α=1.
  

Razones trigonométricas inversas de ángulos característicos

Las razones trigonométricas inversas de los ángulos más característicos (0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º y 270º) son:

Relación entre razones trigonométricas

Cualquier razón trigonométrica se puede expresar en función de cualquier otra. En la siguiente tabla se puede ver la fórmula con la que se expresa cada una en función de la otra.

Nota: el signo ± que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esté el ángulo.

Razones trigonométricas de α

Partimos de uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo que llamaremos α.

• Seno de α:
  
• Coseno de α:
  
• Tangente de α:
  

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas se llaman también funciones circulares. El motivo es que el punto B del triángulo que se ha dibujado sobre el eje de coordenadas, con el vértice del ángulo α en el centro de una circunferencia (O), puede recorrer todos los puntos de esta última.

Se pueden representar gráficamente las funciones trigonométricas y las funciones trigonométricas inversas en el triángulo sobre una circunferencia de radio r=1.