Los centros de un triángulo son:
Baricentro (o centroide) de un triángulo
El baricentro (o centroide) G es el punto donde concurren las tres medianas del triángulo.
Las medianas (ma, mb y mc) son los segmentos que unen uno de sus vértices con el centro del lado opuesto.
Se cumple la siguiente propiedad: la distancia entre el baricentro (centroide) y su vértice correspondiente es el doble de la distancia entre el baricentro y el lado opuesto. Es decir, la distancia del centroide a cada vértice es de 2/3 la longitud de cada mediana.
En física, el baricentro (G) sería el centro de gravedad del triángulo.
El centroide está siempre en el interior del triángulo.
Ortocentro de un triángulo
El ortocentro H es el punto intersección de las tres alturas de un triángulo.
Las alturas (ha, hb y hc) son los segmentos perpendiculares a cada lado que va desde el vértice opuesto a este lado (o a su prolongación). También pueden entenderse como la distancia de un lado al vértice opuesto.
El ortocentro podría estar en el exterior del triángulo, en el caso de que sea un triángulo obtusángulo. En los rectángulos coincidirá con el vértice del ángulo recto. En los acutángulos, será un punto interior.
En este dibujo se observa como el ortocentro es exterior en un triángulo obtusángulo.
Circuncentro de un triángulo
El circuncentro (O) es el punto donde intersectan las tres mediatrices del triángulo.
Las mediatrices de un triángulo (Ma, Mb y Mc) son las mediatrices asociadas a cada uno de sus lados, es decir, las rectas perpendiculares a cada lado que pasa por el punto medio (o centro) de éste.
El circuncentro (O) es el centro de la circunferencia circunscrita en el triángulo, ya que equidista de sus tres vértices.
El radio (R) de la circunferencia circunscrita se puede hallar a partir de los tres lados y el semiperímetro del triángulo:
El circuncentro puede estar en el exterior del triángulo, en el caso de que sea un triángulo obtusángulo. En los rectángulos el circuncentro se encontrará en el punto central de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo de 90º). En los acutángulos, será un punto interior.
Incentro de un triángulo
El incentro (I) es la intersección de las tres bisectrices del triángulo.
Las bisectrices de un triángulo (Ba, Bb y Bc) son los tres segmentos que, dividiendo cada uno de sus tres ángulos en dos partes iguales, termina en el correspondiente lado opuesto.
El incentro (I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.
El radio de la circunferencia inscrita se halla mediante la fórmula:
El incentro se encuentra siempre en el interior del triángulo.
Distancia entre el circuncentro y el incentro
La fórmula de la distancia OI se la debemos a Euler, y es la siguiente:
Como se ve en la figura:
Recta de Euler
En todo triángulo no equilátero, se cumple la siguiente propiedad: el ortocentro (H), el baricentro (G) y el circuncentro (O) están alineados. La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler.
Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G) al circuncentro (O). O dicho de otro modo, el segmento HG es el doble que el GO.
En el caso de un triángulo equilátero, el baricentro, el ortocentro, el circuncentro y el incentro coinciden en un mismo punto interior, que está a la misma distancia de los tres vértices.
Esta distancia a los tres vértices de un triángulo equilátero es igual a 
desde un lado y, por tanto, 
al vértice, siendo h cualquiera de sus tres alturas.
Excelente publicación
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