Ángulos suplementarios

Los ángulos suplementarios (α y β) son los que, sumados, se obtiene un ángulo llano de 180º (π radianes). Es decir, es un par de ángulos tal que α+β=180º.

Sea β el ángulo suplementario de α, es decir β=180º-α. Las razones trigonométricas del ángulo suplementario se pueden obtener en función de las razones trigonométricas de α.

• Seno del ángulo suplementario:
  
• Coseno del ángulo suplementario:
  
• Tangente del ángulo suplementario:
  
• Cosecante del ángulo suplementario:
  
• Secante del ángulo suplementario:
  
• Cotangente del ángulo suplementario:
  

Ejercicio

Sea un ángulo α=45º. Las razones trigonométricas del ángulo suplementario β=180º-45º=135º son las siguientes.

• Seno del ángulo suplementario (180º-45º=135º):
  
• Coseno del ángulo suplementario (180º-45º=135º):
  
• Tangente del ángulo suplementario (180º-45º=135º):
  
• Cosecante del ángulo suplementario (180º-45º=135º):
  
• Secante del ángulo suplementario (180º-45º=135º):
  
• Cotangente del ángulo suplementario (180º-45º=135º):
  

Los resultados corresponden a las razones trigonométricas del ángulo de 135º.

¿Cómo se obtienen?

Sea β=180º-α el ángulo suplementario de α. En el dibujo se representan los triángulos inscritos en la circunferencia goniométrica (de radio=1 unidad) generados por el ángulo α (triángulo OAB) y por su ángulo suplementario β (triángulo OCD). Éstos dos triángulos son semejantes.

Aparte, se generan dos triángulos mediante la secante y tangente de α (triángulo OEF) y mediante la secante y tangente de β (triángulo OHI). OEF y OHI son semejantes.

También se generan otros dos triángulos mediante cosecante y cotangente de α (triángulo OGK) y las cosecante y cotangente de β (triángulo OJK). OGK y OJK igualmente semejantes.

Al tratarse de varios triángulos semejantes dos a dos, se puede demostrar geométricamente todas las igualdades.