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Ángulos opuestos

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Dibujo de dos ángulos opuestos.

Los ángulos opuestos (α y -α) son aquellos que tienen el mismo valor absoluto pero signos contrarios.

Los ángulos son positivos si giran en el sentido antihorario (contrario al giro de las manecillas del reloj). Los ángulos negativos (-α) son los menores que (0 radianes) y giran en el sentido horario (sentido de las manecillas del reloj).

Las razones trigonométricas del ángulo opuesto (o negativo) -α se pueden obtener en función de las razones trigonométricas de α.

Las razones trigonométricas de los ángulos opuestos son iguales a las de los ángulos conjugados.

Ejercicio

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Sea un ángulo α=30º. Las razones trigonométricas del ángulo opuesto -α=-30º son las siguientes.

  • Seno del ángulo opuesto (-30º):


    Cálculo del seno del ángulo opuesto (-30º)

  • Coseno del ángulo opuesto (-30º):


    Cálculo del coseno del ángulo opuesto (-30º)

  • Tangente del ángulo opuesto (-30º):


    Cálculo de la tangente del ángulo opuesto (-30º)

  • Cosecante del ángulo opuesto (-30º):


    Cálculo de la cosecante del ángulo opuesto (-30º)

  • Secante del ángulo opuesto (-30º):


    Cálculo de la secante del ángulo opuesto (-30º)

  • Cotangente del ángulo opuesto (-30º):


    Cálculo de la tangente del ángulo opuesto (-30º)

¿Cómo se obtienen?


Dibujo de las razones trigonométricas de dos ángulos opuestos para su demostración.

Sea -α el ángulo opuesto de α. En el anterior dibujo se representan los triángulos inscritos en la circunferencia goniométrica (de radio=1 unidad) generados por el ángulo α (triángulo OAB) y por el de su ángulo opuesto -α (triángulo OAC). Éstos dos triángulos son semejantes.

Aparte, se generan dos triángulos mediante la secante y tangente de α (triángulo ODE) y mediante la secante y tangente de β (triángulo ODF). ODE y ODF son semejantes.

También se generan otros dos triángulos mediante cosecante y cotangente de α (triángulo OJH) y las cosecante y cotangente de β (triángulo OIG). OJH y OIG también son semejantes.

Al tratarse de varios triángulos semejantes dos a dos, se pueden demostrar geométricamente todas las igualdades.


Cálculo del seno del ángulo opuesto para su demostración.


Cálculo del coseno del ángulo opuesto para su demostración.


Cálculo de la tangente del ángulo opuesto para su demostración.


Cálculo de la cosecante del ángulo opuesto para su demostración.


Cálculo de la secante del ángulo opuesto para su demostración.


Cálculo de la cotangente del ángulo opuesto para su demostración.

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