Ángulos conjugados

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Dibujo de dos ángulos conjugados.

Los ángulos conjugados (α y β) son los que, sumándolos, se obtiene un ángulo de 360º (2π radianes). Es decir, es un par de ángulos tal que α+β=360º.

Sea β el ángulo conjugado de α, es decir β=360º-α. Las razones trigonométricas del ángulo conjugado se pueden obtener en función de las razones trigonométricas de α.


Las razones trigonométricas de los ángulos conjugados son iguales a las de los ángulos opuestos.

Ejemplo

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Sea un ángulo α=45º. Las razones trigonométricas del ángulo conjugado β=360º-45º=315º son las siguientes.

  • Seno del ángulo conjugado (360º-45º=315º):


    Cálculo del seno del ángulo conjugado (360º-45º=315º)

  • Coseno del ángulo conjugado (360º-45º=315º):


    Cálculo del coseno del ángulo conjugado (360º-45º=315º)

  • Tangente del ángulo conjugado (360º-45º=315º):


    Cálculo de la tangente del ángulo conjugado (360º-45º=315º)

  • Cosecante del ángulo conjugado (360º-45º=315º):


    Cálculo de la cosecante del ángulo conjugado (360º-45º=315º)

  • Secante del ángulo conjugado (360º-45º=315º):


    Cálculo de la secante del ángulo conjugado (360º-45º=315º)

  • Cotangente del ángulo conjugado (360º-45º=315º):


    Cálculo de la tangente del ángulo conjugado (360º-45º=315º)

Los resultados corresponden a las razones trigonométricas del ángulo de 315º.

¿Cómo se obtienen?


Dibujo de las razones trigonométricas de dos ángulos conjugados para su demostración.

Sea β=360º-α el ángulo conjugado de α. En el anterior dibujo se representan los triángulos inscritos en la circunferencia goniométrica (de radio=1 unidad) generados por el ángulo α (triángulo OAB) y por el de su ángulo conjugado β (triángulo OAC). Éstos dos triángulos son semejantes.

A parte, se generan dos triángulos mediante la secante y tangente de α (triángulo ODE) y mediante la secante y tangente de β (triángulo ODF). ODE y ODF son semejantes.

También se generan otros dos triángulos mediante cosecante y cotangente de α (triángulo OJH) y las cosecante y cotangente de β (triángulo OIG). OJH y OIG también son semejantes.

Al tratarse de varios triángulos semejantes dos a dos, se puede demostrar geométricamente todas las igualdades.


Cálculo del seno del ángulo conjugado para su demostración.


Cálculo del coseno del ángulo conjugado para su demostración.


Cálculo de la tangente del ángulo conjugado para su demostración.


Cálculo de la cosecante del ángulo conjugado para su demostración.


Cálculo de la secante del ángulo conjugado para su demostración.


Cálculo de la cotangente del ángulo conjugado para su demostración.


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