Ángulos complementarios

Los ángulos complementarios (α y β) son aquellos que sumándolos se obtiene un ángulo recto de 90º (π/2 radianes). Es decir, es un par de ángulos tal que α+β=90º.

Sea β el ángulo complementario de α, siendo β=90º-α, las razones trigonométricas del ángulo complementario se pueden obtener en función de las razones trigonométricas de α.

• Seno del ángulo complementario:
  
• Coseno del ángulo complementario:
  
• Tangente del ángulo complementario:
  
• Cosecante del ángulo complementario:
  
• Secante del ángulo complementario:
  
• Cotangente del ángulo complementario:
  

Ejercicio

Sea α=30º. Veamos cuales son las razones trigonométricas del ángulo complementario β=90º-60º=30º.

• Seno del ángulo complementario (90º-60º=30º):
  
• Coseno del ángulo complementario (90º-60º=30º):
  
• Tangente del ángulo complementario (90º-60º=30º):
  
• Cosecante del ángulo complementario (90º-60º=30º):
  
• Secante del ángulo complementario (90º-60º=30º):
  
• Cotangente del ángulo complementario (90º-60º=30º):
  

Los resultados corresponden a las razones trigonométricas del ángulo de 30º.

¿Cómo se obtienen?

Sea β=90º-α el ángulo complementario de α. En el dibujo anterior se representan los triángulos inscritos en la circunferencia goniométrica (de radio=1 unidad) generados por el ángulo α (triángulo OAB) y por el de su ángulo complementario β (triángulo OCD). Éstos dos triángulos son semejantes.

A parte, se generan dos triángulos mediante la secante y tangente de α (triángulo OIH) y mediante la cosecante y cotangente de β (triángulo OFE). OIH y OFE son semejantes.

Finalmente, se generan otros dos triángulos mediante cosecante y cotangente de α (triángulo OGE) y las secante y tangente de β (triángulo OJH). OJH y OGE también son semejantes.

Al tratarse de varios triángulos semejantes dos a dos, se puede demostrar geométricamente todas las igualdades.