Volumen de un tronco de pirámide

Volumen de un tronco de pirámide

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El volumen de un tronco de pirámide, tanto regular como irregular, se calcula a partir del área de las bases (ABM y ABm) y de la altura (h) del tronco de pirámide. La altura es la distancia entre las dos bases.

Dibujo del tronco de pirámide para el cálculo de su volumen

Su volumen viene determinado como un tercio de la altura del tronco de pirámide (h) por la suma del área de las bases (ABM y ABm) y la media geométrica de las mismas. Su fórmula es:

Fórmula del volumen de un tronco de pirámide

El volumen de un tronco de pirámide recto y de un tronco de pirámide oblicuo de igual altura es el mismo si al ser cortados por cualquier plano paralelo a sus bases se producen en ellos secciones de igual área, aplicando el principio de Cavalieri.

Ejercicio

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Dibujo de un ejemplo del tronco de pirámide para el cálculo de su volumen

Sea un tronco de pirámide cuadrangular regular que se conocen los lados de las bases y la altura. Sean la altura h=3,5 cm, el lado de la base mayor LM=5 cm y el lado de la base menor Lm=3 cm.

Primero se deben calcular el área (ABM y ABm) de las bases. Al ser cuadrados, el área será el cuadrado de uno de sus lados.

Cálculo del área de las bases del tronco de pirámide.

Una vez se calculan el área de las bases, se puede calcular el volumen del tronco de pirámide:

Cálculo del volumen del tronco de pirámide.

Y se obtiene que el volumen es de 57,17 cm3.


AUTOR: Bernat Requena Serra


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31 comentarios en “Volumen de un tronco de pirámide”

  1. Hola como puedo hallar el volumen del tronco de pirámide si solo tengo el área de base menor y la altura. para este caso el área de base mayor no lo conozco debido a que va cambiando con la altura.
    Este caso es para calcular el volumen de un reservorio de agua que varia con respecto a la altura

  2. Melendez Adrian

    Buenos dias me pueden ayudar por favor
    El volumen de un tronco de pirámide regular de bases paralelas cuyas
    regiones son cuadrangulares es 606 cm3

    . Si la altura del tronco se
    incrementa en 1/8 de su valor, ¿Cuál será el nuevo volumen del tronco?

    1. Mira la fórmula del volumen del tronco de pirámide de esta página. Es proporcional a la altura. Si incrementas un 1/8 su valor, su volumen se incrementará en la misma proporción.

  3. Hola si alguien puede colaborar con lo siguiente. Se trata de construir una formaleta en madera que tenga forma troncopiramidal con las siguientes medidas : base mayor B1 ,80cmx80cm ; base menor, 50×50 cm; altura entre bases 30 cm. Entiendo que los bordes de las piezas de madera que conforman las caras laterales debe cortarse en chaflan para que encajen correctamenta, Podria alguien explicar con un dibujo si es posible cual es ese angulo de corte en chaflan.

  4. Hola me podría ayudar con este problema?
    Un reservorio, con forma de tronco de pirámide de base cuadrada, se está llenando con
    agua. La altura del estanque es de 4 metros, el lado de la base mayor mide 2 metros y el
    lado de la base menor mide 1 metro.
    (a) (24 ptos.) Si el agua fluye en el estanque a razón de 0,25 m3/min ¿Qué tan rápido se
    está elevando el nivel del agua cuando alcanza 3 metros de altura?
    (b) (6 ptos.) Suponga ahora, que el estanque se vacía de modo que la altura del agua
    disminuye a razón de 2 m/min. ¿Cuál es la rapidez con que disminuye el volumen del
    agua cuando el nivel de ´esta alcanza los 2 metros?

    1. Geométricamente puedes establecer que la relación entre el lado de una sección a una altura h’ del troco de cono y el lado de la base l’ a esa altura es:
      l’ = 2 – h’ / 4
      Poniendo valores a la fórmula del tronco de cono de esta página a una altura h’:
      V = (1/3) * [2² + (2 – h’ / 4)²) * √[2² * (2 – h’ / 4)²)]] * h
      Si derivas el volumen V respecto al tiempo, su valor de dV / dt son los 0,25 m³ / min y sustituyes h’ por 3 m tendrás la rapidez con que se eleva el nivel a 3 m en m / min
      (hay un capítulo de Derivadas en UNIVERSO FÓRMULAS)

  5. hola, me pueden ayudar con este ejercicio, no comprendo lo de superficie humedecida, es el área??
    En un tronco de pirámide cuadrangular regular las aristas de las bases miden 50u y 30u y su altura mide 10u y contiene un volumen de agua igual a los 4/7 de su volumen, cuando está apoyado sobre su base menor. Calcular la superficie húmeda.

    1. Efectivamente, este ejercicio te pide que calcules la superficie del tronco que está en contacto con el agua, que ocupa 4/7 de su volumen.
      Ten en cuenta que está invertido. Está apoyado sobre la base menor.
      Tienes que sacar el volumen total. Tienes la fórmula y los datos para hallarlo. Saca los 4/7 y tendrás el volumen de digamos un tronco de base 30 x 30 y menos altura.
      Con el área de la base menor y los cuatro trapecios que estarán en contacto con el agua, sacarás la superficie humedecida que te piden.
      (Naturalmente solamente tienes que tener en cuenta en esa superficie la base menor de apoyo y una parte de las caras laterales. Arriba, el agua está en contacto con el aire).

  6. Hola, estoy calculando volumen para una tolva especial en mi tesis y esta ecuación me ayudo muchisimo, existe alguna fuente académica a la cual citar? Muchas grcaias desde ya por su muy buen post. Saludos

    1. Listo, ya encontré la solución para calcular tronco de pirámide rectangular regular (en mi caso un reservorio de agua), sería:

      h=3 m
      LM1=20 m
      LM2=22 m
      Lm1=18 m
      Lm2=20 m

      ABM=20*22 = 440 m2
      Abm=18*20 = 360 m2

      Una vez obtenida las áreas se continua con la misma fórmula del ejercicio para obtener el volumen.

    2. Bien. Has hallado la superficie de las dos bases rectangulares ABM y ABm. Conociendo la altura h puedes aplicar directamente la fórmula del volumen.

    1. Tienes un ejemplo de un tronco de cono regular del que conoces altura y lados de las aristas de las bases. También, por ejemplo, en un tronco de cono pentagonal regular, igualmente podrías llegar a calcular el volumen, sabiendo la altura y las apotemas. En base a cada caso particular y los datos iniciales, si se puede, usar propiedades geométricas y trigonométricas para hallar las bases y la altura.

  7. Hola. Quiero saber qué área cubre la proyección a 30 metros, de una oblea pegada en el parabrisas de un automóvil .Distancia del ojo del conductor a la oblea: 1,10 metros. Tamaño de la oblea: 8 x 6 centímetros. Posición horizontal, aunque no interesa para este caso. Finalidad: saber cuánto disminuye la visibilidad por culpa de las obleas pegadas en el parabrisas. Quise sacarlo por el volumen del tronco de pirámide rectangular, pero solamente conozco la altura h (30 m) y la superficie de la base menor (0,0048 metros cuadrados). Gracias.

    1. Estamos ante un problema de semejanza de figuras. En breve implementaremos en la web la semejanza de triángulos y el teorema de Tales (en este caso, el primero).
      En este problema, la razón de semejanza entre las alturas de dos pirámides semejantes es: 30 / 1,10 = 27,2727.
      La razón de semejanza entre las superficies de las bases de estas dos pirámides semejantes es el cuadrado de la razón de semejanza entre medidas lineales homólogas (en este caso, las alturas). Sería 27,27272 = 743,8017. (Si hablásemos de volúmenes, su razón de semejanza sería el cubo de la razón de semejanza lineal).
      La proyección a 30 m de la oblea desde nuestro ojo equivaldría a la base de la pirámide mayor de altura 30 m..
      Como bien dices, el área de la base de la pirámide menor es 0,0048 m2.
      La proyección buscada sería = 0,0048 * 743,8017 = 3,57 m2.

    1. Si tienes los demás datos ABM, h y volumen,elevas todo al cuadrado y te aparece una ecuación de segundo grado. La raiz positiva es la solución de ABm.

  8. SI mi bandeja tiene en la parte superio35x 27m; yen la parte inferior 26x18m
    y una altura de 5 metros de cuantas maneras podria calcular el volumen que puede conterner variaria la formula que ud reemplaxo en el ejemplo

    1. La fórmula es exactamente la misma. El área de la base mayor seria 35 x 27 y el de la menor 26 x 18. Todo igual, solamente que colocas la base mayor arriba y la menor debajo, pero eso no altera que sea un troco de pirámide.

    1. Universo Formulas Respuestas

      Mira Andrés, es un problema de convención de signos. Aquí, cuando separamos decimales, lo hacemos con una coma. Mira que el resultado es 57,15. En muchas partes de América se separan los decimales con un punto bajo. El resultado sería 57.17. Lo que ves bajo la raíz cuadrada es la multiplicación del área de la base mayor por el área de la base menor.
      El signo de multiplicar lo ponemos con un punto alto, tal que así «· «. También se usa la «x». Quedaría «25 x 9». Pero hemos renunciado a esa notación para que no haya confusiones en expresiones que tengan la variable equis.
      La raíz cuadrada de 25 por 9, que es 225, da 15. Y el resultado del volumen es 57,17 cm3.

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