Volumen del tronco de cono

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Dibujo del volumen del tronco del cono

El volumen del tronco de cono se calcula con la fórmula:


Fórmula del volumen del tronco del cono

¿Cómo se obtiene esta fórmula?

El tronco de cono es el resultado de, mediante un plano que lo corta paralelo a la base, eliminar el cono pequeño superior, como en la figura.

Dibujo de un tronco de cono cortado y separado

Llamaremos h a la altura del tronco de cono, hs a la altura del trozo de cono superior separado por el corte y ht a la altura total del cono entero.

El volumen del tronco de cono será la diferencia entre el volumen del cono entero menos el volumen del trozo de cono superior separado:


Cálculo 1 de la fórmula del volumen de un tronco del cono

Viendo los triángulos semejantes que se forman en los radios y alturas que se forman al cortar el cono:

Dibujo de trángulos semejantes para calcular el volumen de un tronco de cono

Por las relaciones de semejanza de estos triángulos:


Cálculo 2 de la fórmula del volumen de un tronco del cono

Sustituimos esta expresión de ht en la fórmula anterior de diferencia de volúmenes de cono:


Cálculo 3 de la fórmula del volumen de un tronco del cono

Que es la fórmula que se quería demostrar.

Ejercicio 1

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Dibujo del ejemplo 1 de tronco de cono para calcular su volumen

Hallar el volumen de un tronco de cono de radio de la base mayor, 3 cm, de radio de la base menor, 1,5 cm y 4 cm de altura.

Solución:

Aplicamos directamente la fórmula del volumen del tronco de cono:


Cálculo del volumen en el ejemplo 1 de tronco del cono

Resultando un volumen de 65,97 cm3.

Ejercicio 2

Dibujo del ejemplo 2 de tronco de cono para calcular su volumen

Tenemos un vaso de 250 cm3 de capacidad. Su forma es de un tronco de cono invertido, el diámetro interior del fondo del vaso es de 5 cm y el diámetro de la boca del vaso de 8 cm. Calcular la longitud máxima que debe tener una cucharilla para que, introducida en el interior del vaso, no llegue a sobresalir del borde.

Solución:

En primer lugar, vamos a ver cual será la altura del vaso. Para ello, emplearemos la fórmula del volumen del tronco de cono:


Cálculo 1 del volumen en el ejemplo 2 de tronco del cono

Hemos hallado que el vaso tiene una altura de 7,4 cm.

Dibujo 2 del ejemplo 2 de tronco de cono para calcular su volumen

Para calcular la longitud pedida de la cucharilla (c), aplicaremos el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo que se forma a partir de las medidas conocidas del vaso y que se muestra en la figura.

Del triángulo rectángulo conocemos los dos catetos. La longitud de la cucharilla serà la hipotenusa:


Cálculo 2 del volumen en el ejemplo 2 de tronco del cono

La cucharilla debe de medir, como máximo, para no rebasar la boca del vaso 9,85 cm.

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