Volumen del tetraedro

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El volumen del tetraedro se calcula a partir de una de sus aristas (a):


Fórmula del volumen del tetraedro

¿Cómo se obtiene la fórmula?

Veamos la procedencia de esta fórmula. Sabemos el volumen de la pirámide, que es un tercio del área de la base por el altura.

Hallemos en primer lugar la altura de esta pirámide particular, que es el tetraedro.

Dibujo de un un tetraedro para el demostrar la fórmula de su volumen

Fijémonos en el triángulo rectángulo marcado en rojo en la figura, en donde la hipotenusa es la arista a, el cateto de la base OV es las dos terceras partes (\(\frac{2}{3}h_{te}\)) de la altura de cualquier cara del tetraedro, que son triángulos equiláteros. En centros de un triángulo vemos que el punto O, que es donde confluyen las alturas de un triángulo equilátero, el ortocentro se encuentra a dos tercios del vértice. El otro cateto, ht es la altura buscada del tetraedro.

Aplicamos el teorema de Pitágoras:


Cálculo 1 para obtener la fórmula del volumen del tetraedro

Una vez tenemos la altura del tetraedro, podemos sustituir su expresión en la fórmula del volumen de la pirámide.


Cálculo 2 para obtener la fórmula del volumen del tetraedro

¿Sabias qué los poliedros regulares se conocen también como sólidos perfectos o sólidos platónicos? Se conocen desde la antigüedad clásica. Aunque le atribuyen a Pitágoras (569 a.C. – 475 a.C). el descubrimiento de los cuatro primeros y su escuela el restante, fué Platón (427 a.C – 347 a.C.) quien los cita en sus Diálogos. Les da un carácter místico, asociándolos a los elementos de la filosofía clásica: al tetraedro, el fuego, al cubo, la tierra, al octaedro, el aire, al dodecaedro, los límites del universo y al icosaedro, el agua.

Ejercicio 1

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Dibujo del ejemplo 1 de un tetraedro para calcular su volumen

Hallar el volumen de un tetraedro regular de 2 cm de arista.

Solución:


Cálculo del volumen del tetraedro regular en el ejemplo 1

Se obtiene que su volumen es de 0,94 cm3.

Ejercicio 2

Dibujo del ejemplo 2 de un tetraedro para calcular su volumen

La altura de un tetraedro regular es de 3 cm. Hallar su volumen.

Solución:

Para hallar el volumen, iremos en primer lugar a la fórmula de la altura del tetraedro:


Cálculo del volumen del tetraedro regular en el ejemplo 2

En este caso, el volumen del tetraedro regular será de 5,82 cm3.

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