Volumen de un paralelepípedo

Volumen de un paralelepípedo

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Dibujo del volumen de un paralelepípedo

La fórmula general del volumen de un paralelepípedo es el producto del área de cualquiera de sus caras por la altura respecto a ella. Esta altura es el segmento perpendicular a esa cara comprendido entre ésta y su cara opuesta.

Fórmula del volumen del paralelepípedo

Otros procedimientos para hallar el volumen de un paralelepípedo son:

Por el producto vectorial mixto

Dibujo del paralelepípedo para calcular su volumen por el producto mixto

Recurrir al producto vectorial mixto. Para ello, las tres aristas concurrentes en un vértice del paralelepípedo las definimos como tres vectores con origen en ese mismo vértice.

Si conocemos las coordenadas de los vértices, las componentes de los tres vectores las hallamos por la diferencia entre las coordenadas de los extremos de cada vector.

La ecuación del producto vectorial mixto da un resultado que, en valor absoluto, equivale al volumen del paralelepípedo. El volumen es el valor absoluto del determinante formado por los componentes de los tres vectores. Como es el valor absoluto y, además, en un paralelepípedo, cualquier cara puede ser la base, no importa el orden de las filas de los componentes de los tres vectores en el determinante.

Fórmula del volumen del paralelepípedo mediante el producto mixto

Insistir en que es el valor absoluto, por lo que el orden de las filas es indiferente.

A partir de las coordenadas de los vértices

A partir de las coordenadas de cuatro vértices del paralelepípedo que no pertenezcan a una sola cara, se puede hallar igualmente el volumen mediante determinantes.

Si esos cuatro vértices fuesen B(xB, yB, zB), C(xC, yC, zC), D(xD, yD, zD) y I(xI, yI, zI), el volumen se hallaría con el determinante.

(El procedimiento se desarrolla en el ejercicio 4):

Fórmula del volumen del paralelepípedo mediante las coordenadas de 4 vértices

Ejercicio 1

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Dibujo del ejemplo 1 de paralelepípedo para calcular su volumen

Hallar el volumen de un paralelepípedo oblicuo, como el de la figura, en el que la cara de la base tiene 3 cm x 1 cm y la altura sobre ella es de 5 cm.

Solución:

Aplicamos la fórmula y resolvemos.

Cálculo en el ejemplo 2 del volumen de un paralelepípedo

El volumen del paralelepípedo oblicuo será de 15 cm3.

Dibujo del ejemplo 1-2 de paralelepípedo para calcular su volumen

En el caso de que se tratase de un octaedro, bastará con multiplicar la longitud de las tres aristas que convergen en cualquiera de sus vértices.

Fórmula del volumen de un ortaedro

Ejercicio 2

Dibujo del ejemplo 2 de paralelepípedo para calcular su volumen

Hallar el volumen de un paralelepípedo recto u octaedro, como el de la figura, en el la longitud de las tres aristas que convergen en cualquiera de sus vértices son 3 cm, 2 cm y 4 cm.

Solución:

Aplicamos la fórmula y resolvemos.

Cálculo en el ejemplo 2 del volumen de un paralelepípedo

Se obtiene que su volumen es de 24 cm3.

Ejercicio 3

Dibujo del ejemplo 3 de paralelepípedo para calcular su volumen

Hallar el volumen de un paralelepípedo recto u octaedro, como el de la figura, en el la longitud de una arista es de 4 cm.

Solución:

Se trata de un cubo. Aplicando la fórmula del volumen del cubo, resolvemos:

Cálculo en el ejemplo 3 del volumen de un paralelepípedo

Tenemos que 64 cm3 es el volumen del cubo buscado.

Ejercicio 4

Dibujo del ejemplo 4 de paralelepípedo para calcular su volumen

Hallar el volumen de un paralelepípedo como el de la figura siguiente, del que se conocen las coordenadas de cinco vértices, tal y como se muestra en la figura, considerando que las unidades cartesianas son en centímetros.

a) Por los componentes de los tres vectores.

b) Por las coordenadas de los cuatro vértices.

Solución:

a) Hallamos por diferencia las componentes de los tres vectores concurrentes en un vértice.

Cálculo en el ejemplo 4 del volumen de un paralelepípedo

(El determinante se puede hallar por la regla de Sarrus).

b) Partiendo de las coordenadas de esos cuatro vértices.

Cálculo en el ejemplo 4 del volumen por las coordenadas de los vértices

(El determinante se puede hallar por el metodo de Laplace, desarrollándolo por la cuarta columna, porque tiene tres ceros).

Resultando que el paralelepípedo tiene un volumen de 36 cm3.


AUTOR: Bernat Requena Serra


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9 comentarios en “Volumen de un paralelepípedo”

    1. Consulta la página Tipos de paralelepípedo en UNIVERSO FÓRMULAS.
      Tu paralelepípedo es un prisma cuadrangular (dos bases cuadradas de 8 * 8). Puede ser oblicuo o romboedro. Haría falta el ángulo α
      En el caso de que el paralelepípedo tuyo fuese un ortoedro, tendrías que aplicar la fórmula del área que tienes en la página.
      A = 2(8x + 8x + 8 * 8)

    1. Puedes hallarlo tu misma.
      Consulta volumen de un paralelepípedo en UNIVERSO FÓRMULAS.
      Allí verás que si fuesen paralelepípedos rectos u ortoedros, es X*Y*Z

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