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Vértice de una parábola

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El vértice de una parábola vertical V es el punto donde la parábola corta a su eje.

La ecuación de la parábola vertical se puede expresar de estas dos formas:


Cálculo de las dos formas de ecuación de parábola vertical en el vértice de una parábola

Desarrollando el cuadrado del segundo binomio:


Cálculo del desarrollo del binomio en el vértice de una parábola

De donde obtenemos el coeficiente b y, a partir de él, la ordenada del vértice xV:


Fórmula de la ordenada del vértice de una parábola

Sustituyendo la expresión de la ordenada del vértice xV en la ecuación anterior, desarrollando y simplificando con el común denominador 4a, obtenemos:


Fórmula de la abscisa del vértice de una parábola

El resultado lo vemos en la imagen:


Dibujo del vértice de la parábola

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

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Hallar la ecuación de una parábola vertical abierta hacia arriba, sabiendo que las coordenadas de su vértice son V (2,-1) y la de uno de sus puntos P (-2,3).


Dibujo de la gráfica del ejercicio 3 de ecuación de la parábola

Solución:

Si la parábola es abierta hacia arriba, sabemos que su vértice es el mínimo de esta parábola.

Además, si la parábola es vertical, su ecuación se puede escribir de la forma:


Cálculo de la ecuación 1 en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Para que un punto de una función sea un máximo o un mínimo, debe cumplirse que su derivada sea nula. La derivamos y la igualamos a cero:


Cálculo de la derivada en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Asignándole las coordenadas del vértice, que es un mínimo de la parábola, a la derivada:


Cálculo del máximo de la derivada en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Despejamos b:


Cálculo de la ecuación 2 en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Vamos a sustituir los valores de las coordenadas de los dos puntos conocidos, V (2,-1) y P (-2,3) en la ecuación (Ec 1):


Cálculo al sustituir en la ecuación 1 en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Operando:


Cálculo de las ecuaciones 3 y 4 en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Sustituimos b de la (Ec 2) en las ecuaciones (Ec 3) y (Ec 4).


Cálculo al sustituir en las ecuaciones 3 y 4 en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

De estas dos últimas ecuaciones, restamos miembro a miembro la segunda de la primera:


Cálculo al restar miembro a miembro en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Sustituimos el valor hallado de a en la (Ec 2):


Cálculo al sustituir en la ecuación 2 en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Y, por fin, los valores de a y b:


Cálculo de los valores a y b en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Asignamos el valor de las constantes a, b y c a (Ec 1) y tenemos la ecuación de la parábola que buscábamos.


Cálculo de la solución en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola


Dibujo de la solución del ejercicio 3 de ecuación de la parábola

Ejercicio 2

Conocemos de una parábola dos puntos, M (-4,-8) y N (8,-8) y su parámetro p = -2. Hallar las coordenadas de su vértice y la ecuación de la parábola.

Solución:

Como yM = yN = -8, se trata de una parábola de eje vertical.

El parámetro es negativo, por lo que se trata de una parábola abierta hacia abajo, como se ve en la figura:


Dibujo de la gráfica del ejercicio 4 de ecuación de la parábola

La ecuación de la parábola vertical es:


Cálculo de la ecuación 1 en el ejemplo 4 de ecuación de la parábola

Sustituimos en esta ecuación (Ec 1) sucesivamente las coordenadas de M y N:


Cálculo de la ecuación 2 en el ejemplo 4 de ecuación de la parábola

Y, ahora, las coordenadas de N:


Cálculo de la ecuación 3 en el ejemplo 4 de ecuación de la parábola

Como los dos segundos términos son iguales, igualamos los primeros términos de las dos ecuaciones (Ec 2) y (Ec 3):


Cálculo de la ecuación 4 en el ejemplo 4 de ecuación de la parábola

Sustituimos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones anteriores, por ejemplo en(Ec 4):


Cálculo al sustituir en la ecuación 4 en el ejemplo 4 de ecuación de la parábola

Las coordenadas del vértice son: V(2, 1).

Sustituimos las coordenadas del vértice halladas en la ecuación (Ec 1).


Cálculo al sustituir en la ecuación 1 en el ejemplo 4 de ecuación de la parábola

Que es la ecuación buscada de la parábola.


Dibujo de la solución del ejercicio 4 de ecuación de la parábola

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