Tronco de pirámide

El tronco de pirámide es un poliedro formado por dos caras paralelas, que son las bases, y varias caras laterales, que son trapecios. Ambas bases tienen el mismo número de lados y tiene tantas caras laterales como lados tienen sus bases.

Está formado por el sólido inferior resultante de seccionar una pirámide con un plano intermedio y paralelo a su base.

Las caras laterales del tronco de pirámide son trapecios, a diferencia de la pirámide que son triángulos.

Elementos del tronco de pirámide

En un tronco existen los siguientes elementos:

• Bases (B_M y B_m): polígonos cualquiera. Son dos caras paralelas, una mayor (B_M) y otra menor (B_m).
• Caras (C): los trapecios de las caras laterales. Cada arista es común a dos caras.
• Aristas (a): cada uno de los lados de las aristas.
• Altura (h): distancia entre las bases.
• Vértices (V): puntos donde confluyen las caras.
• Apotema (ap): es la altura de los trapecios de las caras laterales y solo existe en los troncos de pirámide regulares.

Tipos de tronco de pirámide

Existen varios tipos de tronco de pirámide. Se pueden clasificar por su regularidad o por el número de lados de las bases.

Tipos según su regularidad

Los troncos de pirámide se clasifican en regulares e irregulares según la posición y la forma de sus bases:

• Tronco de pirámide regular: las bases son polígonos regulares y es recto (el segmento que une los centros de las bases es perpendicular a éstas). Las caras laterales son trapecios isósceles.
• Tronco de pirámide irregular: son el resto de troncos de pirámide, en los que o las bases son polígonos irregulares o éstos son oblicuos (el segmento que une los centros de las bases no es perpendicular a éstas). En las caras laterales hay trapecios escalenos.

Tipos según el número de lados de la base

También se pueden clasifican según los lados que tienen sus bases. Los más simples son:

• Tronco de pirámide triangular: las bases son dos triángulos (3 lados).
• Tronco de pirámide cuadrangular: las bases son dos cuadriláteros (4 lados).
• Tronco de pirámide pentagonal: las bases son dos pentágonos (5 lados).
• Tronco de pirámide hexagonal: las bases son dos hexágonos (6 lados).
• …

Apotema del tronco de pirámide

La apotema de un tronco de pirámide es la altura de los trapecios de las caras laterales. Solo existe en los troncos de pirámide regulares.

En este caso, la apotema (ap) la altura (h), y el segmento diferencia entre la apotema de la base mayor y la apotema de la base menor (ap_BM – ap_Bm) forman un triángulo rectángulo. Por el teorema de Pitágoras podemos calcular la apotema:

Como conocemos los dos catetos, hallaremos la apotema, que es la hipotenusa:

En el caso de conocer las aristas de las bases y la arista lateral, también se calcula la apotema del tronco de pirámide regular mediante el teorema de Pitágoras.

Cualquier cara lateral de un tronco de pirámide regular es un trapecio isósceles:

Solamente quedará aplicar el teorema de Pitágoras:

Área del tronco de pirámide

El área del tronco de pirámide se calcula como suma del área de las dos bases (A_BM y A_Bm) y el área de los trapecios laterales (A_l). El cálculo de ésta varia según si el tronco es regular o irregular.

Área del tronco de pirámide regular

El área lateral (A_l) de los trapecios isósceles puede calcularse a partir del perímetro de las bases (P_BM y P_Bm) y de la apotema (ap).

Realizando la suma de las tres áreas (A_BM, A_Bm y A_l), el área total es:

Área del tronco de pirámide irregular

El tronco de pirámide irregular no tiene una fórmula genérica para calcular el área lateral (A_l). Las caras laterales, en el caso de un tronco de pirámide oblicuo son trapecios escalenos.

Por lo tanto, el área de éste es la suma del área de las bases (A_BM y A_Bm) y el área lateral (A_l).

Volumen del tronco de pirámide

El volumen de un tronco de pirámide, tanto regular como irregular, se calcula a partir del área de las bases (A_BM y A_Bm) y de la altura (h) de éste. La altura es la distancia entre las dos bases.

Su volumen viene determinado como un tercio de la altura (h) por la suma del área de las bases (A_BM y A_Bm) y la media geométrica de las mismas. Su fórmula es: