Tronco de cono

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El tronco de cono recto(o cono truncado recto) es una superficie de revolución generada al girar un trapecio rectángulo sobre el lado perpendicular a sus bases. También puede entenderse como el corte del cono en paralelo a la base y eliminar la parte que tiene el vértice del cono.


Dibujo del tronco del cono cortado por un plano

Área del tronco de cono

Dibujo del área del tronco del cono

La fórmual del área del tronco de cono es:


Fórmula del área del tronco del cono

¿Cómo se obtiene esta fórmula?

Su área es la suma del área de las dos bases circulares más el área lateral. La cara lateral, desarrollada en el plano, como se ve en la figura de abajo, es un trapecio circular.


Dibujo del desarrollo de un tronco del cono

El área de las dos bases es:


Cálculo del área de las bases del tronco del cono

Por otro lado, el área lateral se calcula con una fórmula que recuerda la del área del trapecio (semisuma de las bases por la altura), sustituyendo en este caso la altura por la generatriz:


Cálculo del área lateral del tronco del cono

Así pues, el área total es la suma del àrea de las bases más la lateral, según la primera fórmula.

Dibujo del trapecio generador del tronco del cono

Para calcular el área total de un tronco de cono, si conocemos los radios de las bases y la altura, pero no conocemos la generatriz g, esta última la hallaremos mediante el teorema de Pitágoras. Veamos la figura:

Obtenemos que la generatriz es:


Fórmula de la generatriz del tronco del cono


Volumen del tronco de cono

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Dibujo del volumen del tronco del cono

El volumen del tronco de cono se calcula con la fórmula:


Fórmula del volumen del tronco del cono

¿Cómo se obtiene esta fórmula?

El tronco de cono es el resultado de, mediante un plano que lo corta paralelo a la base, eliminar el cono pequeño superior, como en la figura.

Dibujo de un tronco de cono cortado y separado

Llamaremos h a la altura del tronco de cono, hs a la altura del trozo de cono superior separado por el corte y ht a la altura total del cono entero.

El volumen del tronco de cono será la diferencia entre el volumen del cono entero menos el volumen del trozo de cono superior separado:


Cálculo 1 de la fórmula del volumen de un tronco del cono

Viendo los triángulos semejantes que se forman en los radios y alturas que se forman al cortar el cono:

Dibujo de trángulos semejantes para calcular el volumen de un tronco de cono

Por las relaciones de semejanza de estos triángulos:


Cálculo 2 de la fórmula del volumen de un tronco del cono

Sustituimos esta expresión de ht en la fórmula anterior de diferencia de volúmenes de cono:


Cálculo 3 de la fórmula del volumen de un tronco del cono

Que es la fórmula que se quería demostrar.

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