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Triángulo rectángulo

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Dibujo del triángulo rectángulo

El triángulo rectángulo es un polígono de tres lados que tiene uno de sus ángulos recto (α=90º).

Los dos ángulos menores (β y γ) suman 90º.

Los elementos de un triángulo rectángulo son: los dos lados contiguos al ángulo recto, a y b (cada uno de ellos es un cateto), y el lado mayor c, opuesto al ángulo recto, que es la hipotenusa.

Tipos de triángulo rectángulo

Hay dos tipos de triángulo rectángulo, según los dos ángulos águdos:

    Dibujo del triángulo rectángulo isósceles

  • Triángulo rectángulo isósceles: tiene un ángulo recto (90º) y dos ángulos de 45º. Los dos catetos son iguales.
  • Dibujo del triángulo rectángulo escaleno

  • Triángulo rectángulo escaleno: tiene todos los ángulos diferentes (siendo uno de ellos de 90º). Los lados también son diferentes.

Altura del triángulo rectángulo

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Dibujo de las alturas del triángulo rectángulo

Las alturas del triángulo rectángulo asociadas a los catetos (a y b) son el cateto opuesto correspondiente. Por lo tanto, ha=b y hb=a. La altura associada a la hipotenusa es hc.

Las tres alturas confluyen en el ortocentro, H en el vértice C del ángulo recto.

Para calcular la altura asociada al lado c (la hipotenusa) se recurre al teorema de la altura.

Dibujo del triángulo rectángulo para el teorema de la altura

La altura h (o hc) puede obtenerse conociendo los tres lados del triángulo rectángulo.


Fórmula de la altura por el teorema de la altura a partir de los lados

Área de un triángulo rectángulo

El triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90º), por lo que su altura coincide con uno de sus lados (a). Su área es la mitad del producto de los dos lados que forman el ángulo recto (catetos a y b).

Dibujo del triángulo rectángulo para el cálculo de su área


Fórmula del área de un triángulo rectángulo

Perímetro de un triángulo rectángulo

El perímetro de un triángulo rectángulo es la suma de los tres lados.

Dibujo del triángulo rectángulo


Fórmula del perímetro de un triángulo rectángulo

El triángulo rectángulo cumple el teorema de Pitágoras, por lo que la hipotenusa (c) se puede expresar a partir de los catetos (a y b).


Fórmula del perímetro de un triángulo rectángulo a través del teorema de Pitágoras, poniendo la hipotenusa en función de los catetos.

Teorema de Pitágoras

Triángulo rectángulo

El teorema de Pitágoras relaciona la longitud de los catetos y la hipotenusa. Enuncia que:

Todos los triángulos rectángulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al ángulo recto (catetos) al cuadrado. Es decir:


Fórmula del teorema de Pitágoras

Teorema de la altura

El teorema de la altura relaciona la altura (h) del triángulo y los catetos de dos triángulos semejantes al principal ABC, al trazar la altura h sobre la hipotenusa, enunciando lo siguiente:

En todo triángulo rectángulo, la altura (h) relativa a la hipotenusa es la media geométrica de las dos proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (n y m).

Dibujo del triángulo rectángulo para el teorema de la altura


Fórmula del teorema de la altura

Teorema del cateto

El teorema del cateto relaciona los segmentos proyectados por los catetos sobre la hipotenusa con cada uno de los catetos.

Dibujo del triángulo rectángulo para el teorema del cateto.

En todo triángulo rectángulo, un cateto (a o b) es la media geométrica entre la hipotenusa (c) y la proyección de ese cateto sobre ella (n o m).


Fórmula del teorema del cateto

Segundo teorema de Tales

Dibujo del Segundo Teorema de Tales

El segundo teorema de Tales está relacionado con los triángulos rectángulos inscritos en una circunferencia.

El teorema dice lo siguiente:

En una circunferencia de centro en O y diámetro AC, cualquier punto B de esa circunferencia no perteneciente a AC determina un triángulo rectángulo Δ ABC con el ángulo de 90° en B.

Demostración

Demostración geométrica del segundo teorema de Tales:

El segmento BO divide al triángulo Δ ABC en dos triángulos: Δ ABO y Δ OBC. Estos dos triángulos son isósceles, porque los lados OA, OB y OC son iguales. Los tres son radios r de la circunferencia.

Dibujo de la demostracion del Segundo Teorema de Tales

Por ser triángulos isósceles, tienen cada uno de ellos dos ángulos iguales: α y β.

Como en todo triángulo, los ángulos interiores del triángulo Δ ABC suman 180°:


Cálculo 1 de la demostración del Segundo Teorema de Tales

Dividiendo la igualdad por 2:


Cálculo 2 de la demostración del Segundo Teorema de Tales

Como α + β es el ángulo del Δ ABC en B, queda demostrado el segundo teorema de Tales.

32 Respuestas

  1. delia dice:

    linda la explicacion, gracias.

  2. Rosy urbina dice:

    Cual es la altura de un tobogán que mide 10 x 12 aplicando teorema pitagoras

    • Respuestas dice:

      Las medidas de 10 y 12, ¿a qué corresponden?
      ¿Es 10 la proyección horizontal, es decir, el cateto de la base y 12 la longitud de la rampa, o sea,la hipotenusa?
      Si fuese así la aplicación del teorema de Pitágoras sería inmediata y la altura sería de 6,63.

  3. Citlali Anahi Gonzalez Hernandez dice:

    Lado con mayor longitud en un triangulo rectangulo

  4. kulio dice:

    la prima exito

  5. Juan dice:

    Y las funciones Seno a=co/h, cos a=ca/h, tan a =co/ca arc sen, arc cos, arc tang ???

    • Universo Formulas Respuestas dice:

      Juan, las funiones trigonométricas están en “Trigonometría” en esta web.

  6. paola betancourt dice:

    tengo un triangulo rectangulo que tienes los siguientes lados a ,b area de 16.50 cm2 , si el valor de a es 3(cmt) cual es el valor de b

  7. Gloom Attacks dice:

    Tengo hambre

  8. Sofía Cruces dice:

    Hola, me plantearon este ejercicio y no encuentro ninguna formula para usar:
    Se formó la letra Z de la figura num. 63 con un alambre de ochenta cm de longitud. Encuentra las dimensiones para segmento de la letra.
    En la figura se muetra que la Z forma dos triangulos rectangulos y me da uno de sus angulos qe es de 40°

  9. Alex dice:

    Hola quisiera saber cual es la función que relaciona el área de un triángulo rectángulo isósceles con la longitud de su cateto? Graciad

  10. monica ledesma dice:

    <3

  11. monica ledesma dice:

    me ayudo mucho en la tarea<3

  12. JOSE RENE LOPEZ MORA dice:

    TENGO UN TRIANGULO RECTANGULO ASI : EL CATETO MENOR MIDE 290 . LA PREGUNTA ES : LOS GRADOS DE LOS DOS ANGULOS,LA MEDIDA DE LA HIPOTENUSA Y LA MEDIDA DEL CATETO RESTANTE. GRACIAS POR SU INFORMACIÓN.

  13. Martin dice:

    Hola se puede saber los lados de un triangulo rectangulo sabiedo solo su perimetro (12cm) y su area(6cm2)?

  14. Elizabeth dice:

    Hola, quiero citar bibliograficamente el articulo pero no puedo me pueden ayudar?

  15. Jajaja dice:

    No le entendi

    • seawed, itsosoko landarerik panpoxena dice:

      JAJAJA yo tampoco le entendi muy bien. si quieres te soluciono el problema. Como un autentico british diria “No problem!” ;):)
      BESOOOOS !!! <3<3<3<3<3<3

  16. karmelo dice:

    buenos días,

    me interesa sacar las medidas de los catetos de un triangulo sabiendo que la hipotenusa mide 6 cm .
    solo tengo la hipotenusa y el angulo de 90º. sabe alguien como se puede resolver el problema? yo creo que me faltan datos. Saludos,

  17. catina perez cartagena dice:

    que interesante

    • seawed, itsosoko landarerik panpoxena dice:

      verdad? tienes que ver la pelicula “Donald en el pais de las matematicas”, impresionante. Cuando lo vi, me abrio los ojos a un mundo inesperado. No entendi mucho, solo veia al pato donals y ciertos numeros, pero buffff una calidad de imagen… no todos los dias se ven cosas por el estilo, te lo recomiendo. SALUDOS!!!

  18. lorgio dice:

    nesecito los nombres de los catetos de un triangulo rectangulo

    • seawed, itsosoko landarerik panpoxena dice:

      Cateto one y cateto two. O “seno” (sino jjajajajajajaja cuanta chispa que tengo, lo siento las mates me emocionan :’) <3) cateto A y cateto B. Espero que te sirva, besooooooos

    • Berna dice:

      cateto opuesto al angulo recto y cateto adyasente al angulo recto

  19. Victoria dice:

    Muy bueno pero no he podido entrar en algunas prácticas

    • Gloom Attacks dice:

      Chupamelo linda 😀 D:

    • seawed, itsosoko landarerik panpoxena dice:

      practicar y practicar, esa es la cuestion, la base de todo, que razon tienes. la practica hace la perfeccion y yo de tanto practicar amo a las mates

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