Trapecio

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Dibujo del trapecio

Un trapecio es un polígono con cuatro lados (cuadrilátero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b).

Elementos y propiedades del trapecio

Dibujo de los elementos y propiedades del trapecio

  • Lados: un trapecio tiene cuatro lados (a, b, c y d), siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d).
  • Bases: las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b).
  • Ángulos: tiene cuatro ángulos (α1, α2, α3 y α4). Los ángulos interiores, como en todo cuadrilátero, suman 360º (¿por qué suman 360º?), es decir, α1234=360º. Estos ángulos definen el tipo de trapecio que es.
  • Altura (h): es la distancia entre las dos bases (a y b).
  • Diagonales: las diagonales son segmentos que unen dos vértices no consecutivos. Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2), salvo en el caso del trapecio isósceles que son iguales.

    Las fórmulas de las diagonales de un trapecio, conociendo sus cuatro lados son:

    Fórmula de las diagonales del trapecio
  • Ejes de simetría: son líneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simétricas respecto a dicho eje. Solamente tiene un eje de simetría el trapecio isósceles.
  • Mediana (M): es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a éstas. Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases.
  • Centroide (G): se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresión:
    Fórmula del centroide del trapecio

Tipos de trapecio

Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos según sus ángulos interiores.

  • Trapecio rectángulo: tiene dos ángulos consecutivos rectos (de 90º). Por tanto, un lado es perpendicular a las bases.
  • Trapecio isósceles: los ángulos son iguales dos a dos. Tiene dos lados oblicuos de igual longitud.
  • Trapecio escaleno: los cuatro ángulos interiores son desiguales.
Dibujos de tipos de trapecios

Área de un trapecio

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El área del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio. Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio, que se obtiene como la media de las dos bases a y b: M=(a+b)/2.

Dibujo del área del trapecio

Fórmula del área del trapecio

También se puede hallar el área de un trapecio conociendo sus cuatro lados.

O bien aplicando la fórmula:

Fórmula 2 del área del trapecio

O también mediante el segundo procedimiento que se describe entrando en el área del trapecio.

El área del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el ángulo que forman.

Dibujo del área de un trapecio a partir de las longitudes de las diagonales

Así, la formula es:

Fórmula del área de un trapecio sabiendo las diagonales y el ángulo que forman

Donde los senos de los ángulos ε y θ son iguales por ser ángulos suplementarios.

Fórmula del área de un trapecio sabiendo las diagonales que son perpendiculares

Un caso particular es cuando el ángulo que forman las diagonales del trapecio es un ángulo recto de seno igual a 1:

Y la fórmula del área queda simplificada a la de todo cuadrilátero cuyas diagonales sean perpendiculares:

Fórmula del área de un trapecio sabiendo las diagonales que son perpendiculares

Altura del trapecio

La altura de un trapecio se puede hallar, conociendo sus cuatro lados, siendo a la base mayor y b la menor, mediante la fórmula:

Fórmula de la altura de un trapecio

Perímetro del trapecio

Dibujo del perímetro del trapecio

El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales, por lo que su perímetro es la suma de los cuatro lados.

Fórmula del perímetro del trapecio

Dibujo del perímetro del trapecio isósceles

En el caso particular del trapecio isósceles, los lados oblicuos (c) son iguales. Por lo tanto, su perímetro será la suma de las bases más el doble del lado oblicuo (c).

Fórmula del perímetro del trapecio isósceles

Dibujo del perímetro del trapecio rectángulo

Puede hallarse también el perímetro de un trapecio rectángulo en función los lados a, b y c.

Mediante el teorema de Pitágoras:

Fórmula del perímetro del trapecio rectángulo 2

Trapecio inscrito a una circunferencia

Solamente pueden inscribirse a una circunferencia los trapecios isósceles.

Dibujo de un trapecio isósceles inscrito en una circunferencia

Trapecio circunscrito a una circunferencia

Para que un trapecio pueda circunscribirse a una circunferencia debe cumplirse la condición de que la suma de las longitudes de los lados paralelos (o bases) debe ser igual a la suma de las longitudes de los lados oblicuos:

Fórmula de la condición de un trapecio circunscrito en una circunferencia

El radio de la circunferencia inscrita es la mitad de la altura del trapecio:

Fórmula del radio de un trapecio circunscrito en una circunferencia

Válido para los tres tipos de trapecios.

Diagonales de un trapecio

Dibujo de las diagonales de un trapecio

La longitud de las diagonales del trapecio se pueden calcular mediante esta fórmula, a partir de la longitud de los cuatro lados del trapecio:

Fórmula de las diagonales del trapecio

Las dos diagonales de cualquier trapecio también cumplen la siguiente relación con sus cuatro lados. Esta relación se deduce de las dos fórmulas anteriores:

Fórmula de las diagonales de un trapecio y relación con sus lados

Dibujo 2 de las diagonales de un trapecio

El segmento interior TV de un trapecio, paralelo a sus bases que pasa por el punto de intersección de sus diagonales U.

Queda dividido en dos subsegmentos iguales TU y UV, de longitud:

Fórmula de los segmentos de las diagonales del trapecio

Y el segmento JL, que une los puntos medios de las bases, pasa por el punto K de la intersección de las diagonales. Los subsegmentos JK y KL son las medianas de dos triángulos semejantes opuestos por el vértice K y formados por los subsegmentos de las diagonales y las bases del trapecio.

Dibujo del segmento JKL de las diagonales del trapecio

Mediana de un trapecio

La mediana de un trapecio M es un segmento paralelo a sus bases situado a la mitad de su altura. Une los puntos medios de los lados oblicuos c y d.

Por el primer teorema de Tales, la mediana M corta a las dos diagonales D1 y D2 por sus puntos medios.

Su longitud, en función de sus bases, es:

Fórmula de la mediana del trapecio

Con las diagonales del trapecio se forman unos segmentos que cumplen las siguientes propiedades:

Dibujo de la mediana y los segmentos de un trapecio
  • Segmento m de la mediana comprendido entre sus intersecciones con las diagonales:
    Fórmula del segmento m de la mediana del trapecio
  • Segmentos comprendidos entre un extremo de la mediana y su diagonal más próxima:
    Fórmula de los segmentos cortos de la mediana del trapecio
  • Segmentos comprendidos entre un extremo de la mediana y la diagonal más alejada:
    Fórmula de los segmentos cortos de la mediana del trapecio

Centroide del trapecio

Para determinar el centroide de un trapecio utilizamos un procedimiento gráfico como el que indica la figura:

Dibujo del centroide del trapecio

Se prolonga en un sentido la base mayor a en una longitud igual al de la base menor b (punto M).

Se prolonga en el sentido contrario la base menor b en una longitud igual al de la base mayor a (punto N).

Trazamos la recta MN.

Trazamos el segmento que une los puntos medios de ambas bases (ab).

En la intersección de ambos segmentos se encuentra el centroide G del trapecio.

El centroide G se encuentra a una distancia de la base mayor de:

Fórmula del centroide del trapecio

Construcción de un trapecio

Dibujo de la construcción de un trapecio

Construcción geométrica de un trapecio cualquiera, a partir de sus cuatro lados.

  1. Trazar el segmento de la base mayor a (QN).
  2. Sobre ella, marcar la longitud de la base menor b (QM).
  3. Con centro en M trazar un arco de radio c.
  4. Con centro en N trazar un arco de radio d.
  5. Estos dos arcos se cortan en el punto O.
  6. Con centro en Q trazar un arco de radio c.
  7. Con centro en O trazar un arco de radio b.
  8. Estos dos arcos se cortan en el punto P.
  9. Uniendo Q,N,O,P,Q queda construido el trapecio.

Obsérvese que Q, M, O, P, Q es un paralelogramo, con cuatro lados, siendo iguales y paralelos dos a dos. Por lo tanto las bases a y b son paralelas. En consecuencia, hemos construido un trapecio.

Ejercicios

Ejercicio 1

Dibujo del ejemplo 3 para el cálculo de su área.

Hallar el área de un trapecio de 7 cm y 3 cm de bases y 4 cm de altura.

Solución:

Aplicamos la fórmula general del àrea del trapecio:

Cálculo del área del ejemplo 3 mediante su fórmula

Ejercicio 2

Dibujo del ejemplo 4 de trapecio para el cálculo de su área

Hallar el área de un trapecio cuyas bases miden 7 cm y 3 cm y sus lados oblicuos 5 cm y 4,12 cm. Calcular la longitud de sus diagonales.

Solución:

Se aplica, en primer lugar, la ecuación del área del trapecio, cuando se conocen sus cuatro lados:

Cálculo del área del ejemplo 4 del área de un trapecio

Ahora vamos a averiguar las diagonales:

Dibujo de la segunda parte del ejemplo 4 de área de un trapecio

Mediante las fórmulas que depende también de los lados:

Fórmula de las diagonales del trapecio

Y aplicamos los valores de los cuatro lados.

En primer lugar se halla la diagonal D1:

Cálculo de la diagonal D1 del ejemplo 4 del área

Después calcularemos la longitud de la diagonal D2:

Cálculo de la diagonal D2 del ejemplo 4 del área

Ejercicio 3

Dibujo del ejemplo 1

Determinar si se puede circunscribir o inscribir una circunferencia al trapecio de los ejercicios 1 y 2, cuyas bases miden 7 cm y 3 cm y sus lados oblicuos 5 cm y 4,12 cm.

Solución:

A la primera cuestión: sus lados oblícuos no son iguales. Por lo tanto no es un trapecio isòsceles. La respuesta es que no se le puede circunscribir una circunferencia.

Dibujo del trapecio no circunscrito del ejemplo 1

Ahora contestamos a la segunda pregunta. Debemos comprobar la condición de los trapecios inscritos a una circunferencia, o, lo que es lo mismo, circunscribir una circunferencia a un trapecio. La suma de las bases debe de ser igual a la suma de los lados oblícuos:

Fórmula de la condición de un trapecio circunscrito en una circunferencia

Si le aplicamos los valores de los lados a la condición:

Cálculo de la comprobación del ejemplo 1

Vemos que tampoco se puede inscribir una circunferencia a este trapecio.

Dibujo de la comprobación del ejemplo 1

Ejercicio 4

Dibujo del ejemplo 5 del área

Hallar el área de un trapecio cuyas diagonales miden 6,71 cm y 4,24 cm. Las diagonales forman entre sí un ángulo de 75,57°.

Solución:

Mediante la fórmula del área por las diagonales y su ángulo, se le aplican los valores y:

Cálculo de la solución del ejemplo 5 del área

Con lo que el área tendrá 13,5 cm2.

Ejercicio 5

Dibujo del ejemplo 5 de un trapecio

Hallar la relación entre las bases de un trapecio en el que sus diagonales dividan a la mediana en tres segmentos iguales.

El planteamiento dice que las dos diagonales D1 y D2 dividen a la mediana M en tres segmentos iguales, tales que:

NO = OQ = QR

En las relaciones de los segmentos de la mediana de un trapecio que forman las diagonales hemos visto arriba que el segmento m = OQ es igual a:

Cálculo de OQ del ejemplo 5

Pero que también, que los segmentos exteriores de la mediana, NO y QR son iguales entre sí e iguales a la mitad de la base superior:

Cálculo de NO y QR del ejemplo 5

Al ser los tres segmentos iguales, igualamos sus expresiones equivalentes:

Cálculo de las expresiones equivalentes del ejemplo 5 de un trapecio

Solamente nos queda eliminar los denominadores multiplicando en cruz y simplificar:

Cálculo elimando denominadores del ejemplo 5

Por lo tanto, todo trapecio en el que sus diagonales dividan a la mediana en tres segmentos iguales, la base inferior será el doble que la base superior.


AUTOR: Bernat Requena Serra


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45 comentarios en “Trapecio”

  1. Génesis Cecilia ramirez juarez

    Hola soy Génesis curso sexto de primaria y busco la dos fórmulas y resultado de área y perímetro de un trapecio rectangular

    1. Puedes ver las fórmulas directamente en la página Trapecio rectángulo de UNIVERSO FÓRMULAS.
      Si el perímetro lo quieres en función de los lados a, b y c, mira el triángulo rectángulo que se forma en el ejercicio:
      P = a + b + c +√[c² + (a – b)²]

    1. Freddy, en esta página tienes la fórmula de la distancia del centroide del trapecio a la base mayor. Si el trapecio lo ubicas en un sistema de referencia, tal que la base mayor esté en el eje X, la fórmula de esta página sería la ordenada del centroide del trapecio.
      Revisa tu fórmula.

  2. Hola, tengo un ejercicio por resolver «Demuestre que la recta que une los puntos medios de los lados paralelos de un trapecio pasa por el punto de intersección de las diagonales» ¿me pueden ayudar?

    1. Para no desarrollar la demostración. Los dos triángulos formados por las diagonales y las bases son semejantes. Ángulos opuestos iguales. La recta que une los puntos medios de las bases son las medianas de esos dos triángulos semejantes. Juntas forman el segmento que unen los puntos medios de las bases.

    1. Consulta las fórmulas del volumen de los distintos tipos de cuerpos geométricos: de poliedros (regulares, irregulares, como prismas, pirámides) o cuerpos de revolución en UNIVERSO FÓRMULAS. Encontrarás lo que buscas

  3. Me podrían ayudar con este ejerció.
    El segmento interior de la paralela a las bases de un trapecio por el punto de intersección de las diagonales es bisecado por dicho punto. Demostrar dicha proposición y calcular la longitud de tal segmento en función de las bases

    1. La demostración geométrica rebasa esta contestación.
      Efectivamente el segmento interior paralelo a las bases es dividido en dos iguales (bisectado) en el punto de intersección de las diagonales.
      La longitud de cada uno de estos dos semisegmentos es = (a * b) / (a + b)
      a y b son las bases (dibujo)

  4. ayudenme si en un trapecio ABCD en donde PQ es una base media BC es base menor y AD es base mayor y PQ=17 y MN= 3 y CQ=QD y PB=AP como se halla la base mayor AD.

    1. Mira las fórmulas de esta página
      M = NR = (a + b) / 2 = 17 (NR sería tu mediana de 17)
      m = OQ = (a – b) / 2 = 3 (OQ supongo que será tu segmento MN = 3)
      Resuelves este sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas y tienes la base mayor AD = a = 29,14

  5. Rahi Kahike Munarriz Angeles

    me podrian resolver este problema en un trapecio ABCD BC base menor la medida del angulo A =60 y la medida del angulo D =20 si BC =& calcular la mediana del trapecio

  6. Guillermo Calderon

    buenas noches tengo una tarea de mi hijo q cursa septimo grado si me pudieran hacer el favor y colaborarme con este.
    ejercicio : se tiene un trapecio con base 1=4,5 cm , base 2=5,5 cm y altura h= 4 cm , dentro de el hay un circulo con una circunferencia (perimetro) de 12,56 cm.

    a. Hacer el dibujo.

    b. Determina el area de la superficie que esta fuera del circulo pero dentro del trapecio.

    Les agradezco y mil gracias, espero su respuesta.

    1. Averiguar el radio de ese círculo.
      Perímetro = 2 * π * r
      12,56 = 2 * π * r
      r = 2 cm
      Como la altura del trapecio es de 4 cm, el círculo es tangente a las bases, porque la altura y el diámetro coinciden.
      Como el diámetro paralelo a las bases es menor que las dos, el círculo no llega a los lados laterales.
      El área del círculo = π * r² = 12,56 cm²
      Área del trapecio = 4 * (5,5 + 4,5) / 2 = 20 cm²
      Diferencia de áreas:
      20 – 12,56 = 7,53 cm²
      Dibuje un trapecio con esas medidas, por ejemplo un trapecio rectángulo y trace una circunferencia de radio 2, tangente a las bases y al lado lateral perpendicular.

  7. Una pregunta se trata de un ejercicio donde me dice lo siguiente:
    En un trapecio ABCD (AB//CD). Si m < B=2*m <D. AB=5 y BC=12. Entonces el valor de CD es…
    He intentado varias veces y no puedo resolverlo

    1. Jean, a qué te refieres con «mediana corta»? Gracias.
      Si es al segmento m, la fórmula que figura és m = (a b) / 2

    1. El centroide es el centro de masas (o centro de gravedad) de una figura geométrica, sea lineal, superficie o un cuerpo geométrico.
      I es que las figuras geométricas, de carácter abstracto, tienen densidad uniforme.
      En pocos dias aparecerá en Universso Fórmulas una página para el centroide, centro de masas,baricentro o centro de gravedad, conceptos de sentido muy próximo.
      De momento, visita la página de Universo Fórmulas «Centroide de un trapecio».

  8. que increible y asi es mas facil antes no sabia ahora gracias a eso ya se pero un poca mas muchas grasias por escucharme espero que sigan explicando mas fasil

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