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Trapecio

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Dibujo del trapecio

Un trapecio es un polígono con cuatro lados (cuadrilátero) siendo solo dos de sus lados paralelos y desiguales (las bases a y b).

Elementos y propiedades del trapecio

Dibujo de los elementos y propiedades del trapecio

  • Lados: un trapecio tiene cuatro lados (a, b, c y d), siendo dos paralelos (a y b) y los otros oblicuos (c y d).
  • Bases: las bases del trapecio son los dos lados paralelos (a y b).
  • Ángulos: tiene cuatro ángulos (α1, α2, α3 y α4). Los ángulos interiores, como en todo cuadrilátero, suman 360º (¿por qué suman 360º?), es decir, α1234=360º. Estos ángulos definen el tipo de trapecio que es.
  • Altura (h): es la distancia entre las dos bases (a y b).
  • Diagonales: las diagonales son segmentos que unen dos vértices no consecutivos. Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2), salvo en el caso del trapecio isósceles que son iguales.

    Las fórmulas de las diagonales de un trapecio, conociendo sus cuatro lados son:


    Fórmula de las diagonales del trapecio

  • Ejes de simetría: son líneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simétricas respecto a dicho eje. Solamente tiene un eje de simetría el trapecio isósceles.
  • Mediana (M): es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a éstas. Su longitud se calcula como media de la longitud de las bases.
  • Centroide (G): se encuentra a una distancia de la base mayor como indica la expresión:


    Fórmula del centroide del trapecio

Tipos de trapecio

Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos según sus ángulos interiores.

  • Trapecio rectángulo: tiene dos ángulos consecutivos rectos (de 90º). Por tanto, un lado es perpendicular a las bases.
  • Trapecio isósceles: los ángulos son iguales dos a dos. Tiene dos lados oblicuos de igual longitud.
  • Trapecio escaleno: los cuatro ángulos interiores son desiguales.


Dibujos de tipos de trapecios

Área de un trapecio

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El área del trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio. Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio, que se obtiene como la media de las dos bases a y b: M=(a+b)/2.

Dibujo del área del trapecio


Fórmula del área del trapecio

También se puede hallar el área de un trapecio conociendo sus cuatro lados:


Fórmula 2 del área del trapecio

El área del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el ángulo que forman.

Dibujo del área de un trapecio a partir de las longitudes de las diagonales

Así, la formula es:


Fórmula del área de un trapecio sabiendo las diagonales y el ángulo que forman

Donde los senos de los ángulos ε y θ son iguales por ser ángulos suplementarios.

Fórmula del área de un trapecio sabiendo las diagonales que son perpendiculares

Un caso particular es cuando el ángulo que forman las diagonales del trapecio es un ángulo recto de seno igual a 1:

Y la fórmula del área queda simplificada a la de todo cuadrilátero cuyas diagonales sean perpendiculares:


Fórmula del área de un trapecio sabiendo las diagonales que son perpendiculares

Perímetro del trapecio

El trapecio puede tener sus cuatro lados desiguales, por lo que su perímetro es la suma de los cuatro lados.

Dibujo del perímetro del trapecio


Fórmula del perímetro del trapecio

En el caso particular del trapecio isósceles, los lados oblicuos (c) son iguales. Por lo tanto, su perímetro será la suma de las bases más el doble del lado oblicuo (c).

Dibujo del perímetro del trapecio isósceles


Fórmula del perímetro del trapecio isósceles

Trapecio inscrito a una circunferencia

Solamente pueden inscribirse a una circunferencia los trapecios isósceles.


Dibujo de un trapecio isósceles inscrito en una circunferencia

Trapecio circunscrito a una circunferencia

Para que un trapecio pueda circunscribirse a una circunferencia debe cumplirse la condición de que la suma de las longitudes de los lados paralelos (o bases) debe ser igual a la suma de las longitudes de los lados oblicuos:


Fórmula de la condición de un trapecio circunscrito en una circunferencia

El radio de la circunferencia inscrita es la mitad de la altura del trapecio:


Fórmula del radio de un trapecio circunscrito en una circunferencia

Válido para los tres tipos de trapecios.

Diagonales de un trapecio

Dibujo de las diagonales de un trapecio

La longitud de las diagonales del trapecio se pueden calcular mediante esta fórmula, a partir de la longitud de los cuatro lados del trapecio:


Fórmula de las diagonales del trapecio

Las dos diagonales de cualquier trapecio también cumplen la siguiente relación con sus cuatro lados. Esta relación se deduce de las dos fórmulas anteriores:


Fórmula de las diagonales de un trapecio y relación con sus lados

Mediana de un trapecio

La mediana de un trapecio M es un segmento paralelo a sus bases situado a la mitad de su altura. Une los puntos medios de los lados oblicuos c y d.

Por el primer teorema de Tales, la mediana M corta a las dos diagonales D1 y D2 por sus puntos medios.

Su longitud, en función de sus bases, es:


Fórmula de la mediana del trapecio

Con las diagonales del trapecio se forman unos segmentos que cumplen las siguientes propiedades:


Dibujo de la mediana y los segmentos de un trapecio

  • Segmento m de la mediana comprendido entre sus intersecciones con las diagonales:


    Fórmula del segmento m de la mediana del trapecio

  • Segmentos comprendidos entre un extremo de la mediana y su diagonal más próxima:


    Fórmula de los segmentos cortos de la mediana del trapecio

  • Segmentos comprendidos entre un extremo de la mediana y la diagonal más alejada:


    Fórmula de los segmentos cortos de la mediana del trapecio

Centroide del trapecio

Para determinar el centroide de un trapecio utilizamos un procedimiento gráfico como el que indica la figura:

Dibujo del centroide del trapecio

Se prolonga en un sentido la base mayor a en una longitud igual al de la base menor b (punto M).

Se prolonga en el sentido contrario la base menor b en una longitud igual al de la base mayor a (punto N).

Trazamos la recta MN.

Trazamos el segmento que une los puntos medios de ambas bases (ab).

En la intersección de ambos segmentos se encuentra el centroide G del trapecio.

El centroide G se encuentra a una distancia de la base mayor de:


Fórmula del centroide del trapecio

Ejercicios

Ejercicio 1

Dibujo del ejemplo 3 de trapecio para el cálculo de su área.

Hallar el área de un trapecio de 7 cm y 3 cm de bases y 4 cm de altura.

Solución:

Aplicamos la fórmula general del àrea del trapecio:


Cálculo del área del ejemplo 3 de trapecio mediante su fórmula

Ejercicio 2

Dibujo del ejemplo 4 de trapecio para el cálculo de su área

Hallar el área de un trapecio cuyas bases miden 7 cm y 3 cm y sus lados oblicuos 5 cm y 4,12 cm. Calcular la longitud de sus diagonales.

Solución:

Se aplica, en primer lugar, la ecuación del área del trapecio, cuando se conocen sus cuatro lados:


Cálculo del área del ejemplo 4 del área de un trapecio

Ahora vamos a averiguar las diagonales:

Dibujo de la segunda parte del ejemplo 4 de área de un trapecio

Mediante las fórmulas que depende también de los lados:


Fórmula de las diagonales del trapecio

Y aplicamos los valores de los cuatro lados.

En primer lugar se halla la diagonal D1:


Cálculo de la diagonal D1 del ejemplo 4 del área de un trapecio

Después calcularemos la longitud de la diagonal D2:


Cálculo de la diagonal D2 del ejemplo 4 del área de un trapecio

Ejercicio 3

Dibujo del ejemplo 1 de trapecio

Determinar si se puede circunscribir o inscribir una circunferencia al trapecio de los ejercicios 1 y 2, cuyas bases miden 7 cm y 3 cm y sus lados oblicuos 5 cm y 4,12 cm.

Solución:

A la primera cuestión: sus lados oblícuos no son iguales. Por lo tanto no es un trapecio isòsceles. La respuesta es que no se le puede circunscribir una circunferencia.


Dibujo del trapecio no circunscrito del ejemplo 1 de trapecio

Ahora contestamos a la segunda pregunta. Debemos comprobar la condición de los trapecios inscritos a una circunferencia, o, lo que es lo mismo, circunscribir una circunferencia a un trapecio. La suma de las bases debe de ser igual a la suma de los lados oblícuos:


Fórmula de la condición de un trapecio circunscrito en una circunferencia

Si le aplicamos los valores de los lados a la condición:


Cálculo de la comprobación del ejemplo 1 de un trapecio

Vemos que tampoco se puede inscribir una circunferencia a este trapecio.


Dibujo de la comprobación del ejemplo 1 de trapecio

Ejercicio 4

Dibujo del ejemplo 5 del área de un trapecio

Hallar el área de un trapecio cuyas diagonales miden 6,71 cm y 4,24 cm. Las diagonales forman entre sí un ángulo de 75,57°.

Solución:

Mediante la fórmula del área por las diagonales y su ángulo, se le aplican los valores y:


Cálculo de la solución del ejemplo 5 del área de un trapecio

Con lo que el área tendrá 13,5 cm2.

Ejercicio 5

Dibujo del ejemplo 5 de un trapecio

Hallar la relación entre las bases de un trapecio en el que sus diagonales dividan a la mediana en tres segmentos iguales.

El planteamiento dice que las dos diagonales D1 y D2 dividen a la mediana M en tres segmentos iguales, tales que:

NO = OQ = QR

En las relaciones de los segmentos de la mediana de un trapecio que forman las diagonales hemos visto arriba que el segmento m = OQ es igual a:


Cálculo de OQ del ejemplo 5 de un trapecio

Pero que también, que los segmentos exteriores de la mediana, NO y QR son iguales entre sí e iguales a la mitad de la base superior:


Cálculo de NO y QR del ejemplo 5 de un trapecio

Al ser los tres segmentos iguales, igualamos sus expresiones equivalentes:


Cálculo de las expresiones equivalentes del ejemplo 5 de un trapecio

Solamente nos queda eliminar los denominadores multiplicando en cruz y simplificar:


Cálculo elimando denominadores del ejemplo 5 de un trapecio

Por lo tanto, todo trapecio en el que sus diagonales dividan a la mediana en tres segmentos iguales, la base inferior será el doble que la base superior.

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23 Respuestas

  1. jean dice:

    Una pregunta se trata de un ejercicio donde me dice lo siguiente:
    En un trapecio ABCD (AB//CD). Si m<B=2.m <D. AB=5 y BC=12. Entonces el valor de CD es…..
    He intentado varias veces y no puedo resolverlo

  2. jean dice:

    en mediana corta es menos

    • Respuestas dice:

      Jean, a qué te refieres con “mediana corta”? Gracias.
      Si es al segmento m, la fórmula que figura és m = (a b) / 2

  3. marco dice:

    me pueden decir que angulos tienen los triangulos

  4. paul dice:

    gracias buena pagina

  5. Lorena dice:

    Hola no se q es el centroide…. alguien puede explicarme…?

    • Respuestas dice:

      El centroide es el centro de masas (o centro de gravedad) de una figura geométrica, sea lineal, superficie o un cuerpo geométrico.
      I es que las figuras geométricas, de carácter abstracto, tienen densidad uniforme.
      En pocos dias aparecerá en Universso Fórmulas una página para el centroide, centro de masas,baricentro o centro de gravedad, conceptos de sentido muy próximo.
      De momento, visita la página de Universo Fórmulas “Centroide de un trapecio”.

  6. Lourdes dice:

    Muy cool me sirvio de mucho

  7. Jose gomez dice:

    Estupendo

  8. Yoel dice:

    Hola muy buena pagina megustaria agregarme como lo ago.ayuda

  9. Tatiana dice:

    Gracias me sirvió mucho

  10. Daniela escobar dice:

    toda esta pajina me a ayudado en mi tarea gracias a los creadores de este foro asi que muchas gracias

  11. Valerie😋 dice:

    Yo no entiendo nada y me tengo que aprender todas las fórmulas y no me las se

  12. Yericka dice:

    estupendo!!!

  13. dayana dice:

    quiero q me enseñen mis tareas de matematica
    porfavor es de las formulas de trapecio

  14. Rodrigo dice:

    Que buena página. Sigan así.

  15. Karen 1205 dice:

    Gracias en serio me fue muy útil me saqué un 10

  16. ROSAURA SOLIS BAEZA dice:

    FANTASTICO.

  17. ROSAURA SOLIS BAEZA dice:

    YO.ME GUSTA PERO LO REPROBE MI EXAMEN.AUN NO LO ENTENDI.

  18. yesenia dice:

    que increible y asi es mas facil antes no sabia ahora gracias a eso ya se pero un poca mas muchas grasias por escucharme espero que sigan explicando mas fasil

  19. Iaa dice:

    Gracias por tu ayuda

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