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Trapecio rectángulo

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Dibujo del trapecio rectángulo.

Un trapecio rectángulo es un trapecio con bases a y b y con dos y solo dos ángulos consecutivos de 90º.

Un trapecio es un cuadrilátero convexo con dos de sus lados paralelos y desiguales.

Hay tres tipos de trapecio: trapecio rectángulo, trapecio isósceles y trapecio escaleno.

Elementos y propiedades del trapecio rectángulo

Dibujo de los elementos y propiedades del trapecio rectángulo.

  • Lados: un trapecio rectángulo tiene cuatro lados (a, b, c y d), siendo dos paralelos (a y b), uno perpendicular a los dos paralelos (c) y el otro oblicuo (d).
  • Bases: las bases del trapecio rectángulo son los dos lados paralelos (a y b).
  • Ángulos: tiene cuatro ángulos, dos ángulos rectos (de 90º) y los ángulos α1 y α2. Los ángulos interiores, como en todo cuadrilátero, suman 360º (¿por qué suman 360º?).
  • Altura (h): es la distancia entre las dos bases (a y b). La altura coincide con el lado c.
  • Diagonales: las diagonales son segmentos que unen dos vértices no consecutivos. Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2).

    Las fórmulas de las diagonales de cualquier trapecio, conociendo sus cuatro lados, son:


    Fórmula de las diagonales del trapecio

    Aunque en el caso del trapecio rectángulo basta el teorema de Pitágoras para hallar sus diagonales.

  • Mediana (M): es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a éstas. Su longitud se calcula como la media de la longitud de las bases, es decir:


    Fórmula de la mediana del trapecio

¿Cuánto mide cada ángulo?

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Si se conocen los lados c y d se podrán hallar los ángulos no rectos α1 y α2, independientemente de la longitud de sus bases paralelas a y b .


Fórmula de para calcular los ángulos interiores del trapecio rectángulo

Porque en todo cuadrilátero, sus ángulos interiores suman 360°.

Área de un trapecio rectángulo

Dibujo del área del trapecio rectángulo.

El área del trapecio rectángulo se calcula a partir de la fórmula general del área del trapecio. En este caso, a partir de las bases (a y b) y del lado c. Es el resultado de multiplicar su altura (el lado c) por la mediana del trapecio, que se obtiene como la media de las dos bases a y b: M=(a+b)/2.


Fórmula del área del trapecio rectángulo.

Dibujo del área del trapecio rectángulo según sus diagonales y ángulo que forman

El área del trapecio rectángulo se puede obtener también con las longitudes de sus diagonales y el ángulo que forman.

Así, la fórmula es:


Fórmula del área del trapecio rectángulo según sus diagonales y ángulo que forman

Donde los senos de los ángulos ε y θ son iguales por ser ángulos suplementarios.

Dibujo del área del trapecio rectángulo según sus diagonales formando ángulo recto

Un caso particular es cuando el ángulo que forman las diagonales del trapecio es un ángulo recto (de seno igual a 1):

Y la fórmula del área queda simplificada a la de todo cuadrilátero link cuyas diagonales sean perpendiculares:


Fórmula del área del trapecio rectángulo según sus diagonales con ángulo recto

Perímetro del trapecio rectángulo

Dibujo del perímetro del trapecio rectángulo.

El trapecio rectángulo puede tener sus cuatro lados desiguales, por lo que su perímetro es la suma de los cuatro lados.


Fórmula del perímetro del trapecio rectángulo.

Trapecio rectángulo circunscrito a una circunferencia

Dibujo del trapecio rectángulo circunscrito en una circunferencia

Para que un trapecio rectángulo pudiera circunscribirse a una circunferencia, debería cumplirse la condición general a toda clase de trapecios de que la suma de las longitudes de los lados paralelos (o bases) debería ser igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados:


Fórmula de la condición de un trapecio rectángulo circunscrito

Ejercicio

Conocemos de un trapecio rectángulo la base mayor, que mide 12 cm, el lado oblicuo, 10 cm y el ángulo de 53,13° que forman ambos lados.

Dibujo del ejemplo 1 de trapecio rectángulo

Con estos datos: a) hallar el perímetro del trapecio, b) su área, c) la longitud de las diagonales, d) los ángulos que forman estas diagonales y e) determinar si se puede circunscribir a una circunferencia.

Solución:

Dibujo de los lados del ejemplo 1 de trapecio rectángulo

a) Hallamos en primer lugar el lado vertical c y la proyección de b trigonométricamente.

Aplicamos las fórmulas del seno y coseno:


Cálculo para hallar c en el ejemplo 1 de trapecio rectángulo

Ahora para hallar la base superior, calculamos trigonométricamente la proyección del lado d sobre la base a.

Como sabemos del triángulo formado la hipotenusa de 10 cm y el cateto c de 8 cm, obtendremos el cateto de la base, (12 – b) al que llamaremos x:


Cálculo del cateto x en el ejemplo 1 de trapecio rectángulo

Con lo que podremos saber la base superior b.


Cálculo de la base b en el ejemplo 1 de trapecio rectángulo

Con los cuatro lados, se halla el perímetro:


Cálculo del perímetro en el ejemplo 1 de trapecio rectángulo

Tenemos la primera respuesta, el perímetro mide 36 cm.

b) El área la hallamos por la fórmula general del trapecio, pues sabemos las dos bases y la altura:


Cálculo del área en el ejemplo 1 de trapecio rectángulo

El área del trapecio es de 72 cm2.

c) La longitud de las diagonales las hallamos directamente por el teorema de Pitágoras:

Dibujo de la longitud de las diagonales del ejemplo 1 de trapecio rectángulo

Obtenemos las dos diagonales, que son dos hipotenusas:


Cálculo de las diagonales en el ejemplo 1 de trapecio rectángulo

d) Los ángulos que forman las diagonales los obtenemos de las fórmulas del área en función de las diagonales y los dos ángulos suplementarios que forman:


Fórmula del área del trapecio rectángulo según sus diagonales y el ángulo que forman

Y sustituimos valores en la fórmula:


Cálculo de los ángulos de las diagonales en el ejemplo 1 de trapecio rectángulo

Que son los dos ángulos de las diagonales buscados.

c) Para saber si se puede circunscribir este trapecio rectángulo a una circunferencia, basta con comprobarlo con la igualdad correspondiente:


Fórmula de la condición de un trapecio rectángulo circunscrito

Aplicamos los valores de los lados y comprobamos:


Cálculo de la comprobación de si está circunscrito en el ejemplo 1 de trapecio rectángulo

Se puede circunscribir este trapecio rectángulo a una circunferencia.


Dibujo del trapecio rectángulo circunscrito del ejemplo 1 de trapecio rectángulo

57 Respuestas

  1. Santiago dice:

    Hola, mi nombre es Santiago,
    Estoy dándole unas vueltas al cálculo del centro de gravedad de un trapecio rectángulo (coordenadas X e Y), para la coordenada Y ya he visto la fórmula, pero en el caso de la X no la encuentro, y entiendo que ha de existir fórmula también… (ya sé que existe la opción de descomponerlo en un triángulo y un cuadrado en caso de querer trabajar con él)
    Agradecería si me aclarases al respecto.

    Un saludo y muchas gracias.

  2. jose dice:

    Buenas noches. Hallar el perimetro del trapecio rectangulo, cuya base mayor mide 935mm su base menor 221m y su lado inclinado es de oblicuo de 168 metros, debe expresar en cm. Espero su respuesta colega

    • Respuestas dice:

      Jose, aunque no estoy seguro de ser su colega, el ejercicio que plantea es imposible o está mal expresado. Si todas las medidas estuvieran realmente en metros, la base menor más el lado inclinado debe ser siempre mayor que la base mayor, pero:
      221 + 168 < 935 Pero si la base "mayor" mide 935 mm no es posible que la "menor" mida 221 m.

  3. Skye dice:

    hola!!! necesito hallar el perímetro de un trapecio sabiendo solo B, b y la hipotenusa agradecería mucho la ayuda

    • Respuestas dice:

      Un trapecio no tiene hipotenusa. Puede que te refieras a una diagonal. Pero, el trapecio ¿es isósceles o rectángulo?

  4. Angel Yesid Mondragon dice:

    como puedo hallar el valor del lado d

    • Respuestas dice:

      Si conoces los lados a, b y c, por el teorema de Pitágoras. d es la hipotenusa.
      En breve colgaremos una buena ampliación de los tipos de trapecios.

  5. juan tello moreno dice:

    las bases de un trapecio rectangular mide 16cm y 24cm, y el lado perpendicular a dicha base mide 6cm¿cuanto mide el cuarto lado?

    • Respuestas dice:

      Diferencia de bases, 24-16 = 8 cm.Cateto inferior. Lado perpendicular 6 cm. Lado oblicuo, que es la hipotenusa por t. Pitágoras.

  6. VANESA MENDOSA dice:

    como puedo hallar la longitud de untrapecio rectangulo, cuyo longitud de los lados paralelos es 8 y 20 el cual son el lado BC Y AD y me pide allar el lado CD

  7. Stefania dice:

    Hola, como calculo los angulos internos a1 y a2.
    Gracias

    • Respuestas dice:

      Si te refieres a los ángulos α1 y α2 de la figura (un trapecio rectángulo) y conoces los lados c y d, resuelvelo por trigonometria.
      α2 = arc sen c/d
      α1 = 360 – 90 – 90 – α2
      Porque en todo cuadrilátero, sus ángulos interiores suman 360°. Todo trapecio rectángulo que tuviera un lado (altura) c y el lado oblicuo opuesto d tendrá esos ángulos, independientemente de la longitud de sus bases paralelas, a y b.

  8. Vero dice:

    Hola, necesito hallar el perimetro de un trapecio truncado donde EB= 7.50, BC=2.44 y me dicen que los otros dos lados osea ED Y DC son iguales como los hallo??
    Porfa ayúdame.

  9. belen dice:

    hayar la medida de un trapecio rectangulo cuya base mide 28 metros la base menor mide 20 metros y su lado oblicuo mide 17 metros

    • Respuestas dice:

      Lado perpendicular, Pitágoras. Un cateto, 28-20, hipotenusa, 17. El otro cateto, el lado recto = altura

  10. Teo dice:

    Gracias por todo lo que publicais, me esta siendo de maxima ayuda. Gracias a [email protected] acabo aprobando jaja!!

  11. Mariocano dice:

    Como calculo b si solo me dan a , c y d

    • Respuestas dice:

      Si los nombres de los lados son los del dibujo, te falta la base menor. Y es un trapecio rectángulo de altura c.
      Pitágoras. Hipotenusa d y cateto conocido, c.
      Hallas el cateto (a-b).
      Entonces b = a-(a-b) = b.

  12. Grey8 dice:

    quiero hallar el perimetro de un trapecio rectangulo si sus bases miden respectivamente 18 y 15 cm y su altura 4 cm

    • Respuestas dice:

      Debes aplicar el teorema de Pitágoras para saber el lado que te falta. Se forma un triángulo en el que el cateto de la base es 18-15 = 3 cm. El otro cateto es de 4 cm (la altura). El lado que te falta (la hipotenusa) te dará 5 cm y el perímetro 42 cm.

  13. Grey8 dice:

    Quiero Hallar el perímetro de un trapecio rectángulo si su bases miden respectivamente 18 y 15 cm y su altura 4 cm

  14. Danna dice:

    Un trapecio rectángulo es un trapecio con bases a y b y con dos y solo dos ángulos consecutivos de 90º.

    Falta una palabra allí, no? Luego de “dos”

    • Respuestas dice:

      De agradecer tu comentario.
      Per textualmente en la web está: “y con dos y solo dos ángulos consecutivos de 90º“.
      ¿Qué palabras echas a faltar? Gracias

  15. Vera dice:

    Como calculo el perímetro de un trapecio rectangulo del que solo se las medidas de la base, el oblicuo y la perpendicular?

    • Respuestas dice:

      Si llamas a a la base mayor, el lado oblicuo d y a la perpendicular c, la base menor, que es la que te falta le llamas b (como en la página de Universo Fórmulas.
      Triángulo rectángulo con d como hipotenusa, y catetos c y (ab). Hallas por Pitágoras el valor entre paréntesis. Lo restas de la longitud de a y tienes la base menor y, por tanto, el perímetro.

  16. Rigoberto dice:

    Como hallo el área de un trapecio rectángulo inscrito.

    • Respuestas dice:

      En una circunferencia se pueden inscribir rectángulos, trapecios isósceles y trapezoides. Trapecios rectángulos, no.

  17. Rigoberto dice:

    problema: halle el área del trapecio rectángulo inscrito en un cuadrado.

    • Respuestas dice:

      En este caso una base a y el lado perpendicular a ella coinciden con los lados del cuadrado. Llama a la otra base b = ax.
      Necesitas saber el ángulo que forma el lado oblicuo con la base. Llámale α.
      tan α = a / x
      x = a / tan α
      Con eso tienes la base superior y puedes qplicar la fórmula general del área del trapecio.

  18. Eduar G. dice:

    Cómo hallo la altura del trapecio rectángulo?

    • Respuestas dice:

      Tienes que tener datos, por ejemplo, a)el área y las dos bases, el área y la mediana, b)una de las bases y la diagonal que une el lado de la altura y la base conocida o c)los tres lados restantes, siempre que sepas cuales de ellos son las bases.
      Con eso y las fórmulas de la web hallas la altura.

  19. Juan Thomas dice:

    Hola, gracias por el post, me es de mucha ayuda. Estoy haciendo una investigación matemática para el colegio y quiero citar su artículo en mi texto. ¿quiere que ponga la referencia a nombre de “Universo Fórmulas, 2015”, o pongo su nombre?
    Gracias!

    • Universo Formulas dice:

      Me alegro que le sea útil y agradezco sus palabras. Si no le importa, mejor cite: “Universo Fórmulas”.
      Un saludo.

  20. madelyn dice:

    quiero saber cual es el perimetro y el area de un losango

    • Respuestas dice:

      Puedes consultar “área del rombo” y “perímetro del rombo” en Universo Fórmulas.

  21. carlos dice:

    cual es el area de un TRAPECIO RECTÁNGULO de alto 8cm la base de 14cm y lo de arriba de 12 cm

  22. Evelin Leyva dice:

    Cual es la superficie de un trapecio rectangular. Que mide 5 cm,10cm,7cm,5.8cm

  23. - dice:

    ¿Qué nombre recibe el punto de corte de las diagonales en un trapecio rectángulo?

    • Universo Formulas Respuestas dice:

      Ese punto no tiene un nombre específico.
      Del punto de corte de las diagonales de un trapecio te podemos decir que en un trapecio isósceles sus diagonales se cortan en el eje de simetría del trapecio. También, que en cualquier trapecio, el segmento que une los puntos medios de las diagonales (y que es paralelo a las bases) es la diferencia base mayor menos base menor partido por dos.

  24. Julieta mercedes Gaviño dice:

    Hola. Quería decirles que los felicito en como introducen la información en un modo muy fácil y claro

  25. naomi dice:

    como pedo sacar la altura si ya tengo el area y las 2 bases???

  26. marcos dice:

    pero siendo que “d” no tenga valor como saco el perimetro

  27. tobias dice:

    como se hace para saber cual es la medida de d en el perimetro???

    • Ixent dice:

      Por Pitágoras mismamente. El trapecio rectángulo está formado por un rectángulo + triangulo rectángulo.
      La base de éste es ‘c’ i el otro lado es ‘a-b’ por lo que d=sqrt(c^2 + (a-b)^2)

  28. leidys dice:

    y como puedo calcular la base cuando me dan una pero tengo que buscar la otra?

  29. Karla Daniela ValenzuelaHuerta dice:

    no me gusto

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