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Trapecio isósceles

ANUNCIOS

Dibujo del trapecio isósceles.

Un trapecio isósceles es un trapecio con bases a y b y los ángulos iguales dos a dos.

Un trapecio es un cuadrilátero convexo con dos de sus lados paralelos y desiguales.

Hay tres tipos de trapecio: trapecio rectángulo, trapecio isósceles y trapecio escaleno.

Los lados oblicuos (c y d) son iguales.

Elementos y propiedades del trapecio isósceles

Dibujo de los elementos y propiedades del trapecio isósceles.

  • Lados: el trapecio isósceles tiene cuatro lados (a, b, c y d), siendo dos paralelos (a y b) y dos oblicuos (c y d). Los lados oblicuos son iguales.
  • Bases: las bases son los dos lados paralelos (a y b).
  • Ángulos: tiene cuatro ángulos, iguales dos a dos (los dos ángulos α y los dos β). Los ángulos interiores, como en todo cuadrilátero, suman 360º (¿por qué suman 360º?), es decir, 2α+2β=360º.
  • Altura (h): es la distancia entre las dos bases (a y b).
  • Diagonales: las diagonales son segmentos que unen dos vértices no consecutivos. Tiene dos diagonales iguales (D1 y D2). Estas diagonales se cortan en el eje de simetría del trapecio isósceles.

    Las fórmulas de las diagonales de un trapecio isósceles, conociendo sus lados son:


    Fórmula de las diagonales del trapecio isósceles

  • Ejes de simetría: son líneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simétricas respecto a dicho eje. Solamente tiene un eje de simetría el trapecio isósceles. Perpendicular a sus bases, que las corta en sus puntos medios.
  • Mediana (M): es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a éstas. Su longitud se calcula como la media de la longitud de las bases, es decir:


    Fórmula de la mediana del trapecio

Área del trapecio isósceles

ANUNCIOS


Dibujo del área del trapecio isósceles.

El área del trapecio isósceles se calcula por la fórmula general del área del trapecio. Es el resultado de multiplicar su altura (h) por la mediana del trapecio, que se obtiene como la media de las dos bases a y b: M=(a+b)/2.


Fórmula del área del trapecio isósceles.

También se puede hallar el área del trapecio conociendo sus cuatro lados, sabiendo que c y d son iguales:


Fórmula del área del trapecio isósceles (segunda forma)

Dibujo del área del trapecio isósceles a partir de sus diagonales

El área del trapecio isósceles se puede obtener con las longitudes de sus diagonales, que son iguales, y el ángulo que forman:

Así, la formula es:


Fórmula del área del trapecio isósceles según sus diagonales

Donde los senos de los ángulos ε y θ son iguales por ser ángulos suplementarios.

Dibujo del área del trapecio isósceles a partir de sus diagonales que forman un ángulo recto

Un caso particular es cuando el ángulo que forman las diagonales del trapecio isósceles es un ángulo recto (de seno igual a 1):

Y la fórmula del área queda simplificada a la de todo cuadrilátero cuyas diagonales sean perpendiculares:


Fórmula del área del trapecio isósceles según sus diagonales que forman un ángulo recto

Perímetro del trapecio isósceles

Dibujo del perímetro del trapecio isósceles.

En el trapecio isósceles, los lados oblicuos (c) son iguales. Por lo tanto, su perímetro será la suma de las bases (a y b) más el doble de uno de sus lados oblicuos (c).


Fórmula del perímetro del trapecio isósceles.

Trapecio isòsceles inscrito a una circunferencia

Dibujo del trapecio isósceles inscrito en una circunferencia

Solamente pueden inscribirse a una circunferencia los trapecios isòsceles. El resto de los trapecios no se pueden inscribir.

Trapecio circunscrito a una circunferencia

Para que un trapecio pueda circunscribirse a una circunferencia debe cumplirse la condición de que la suma de las longitudes de los lados paralelos (o bases) debe ser igual a la suma de las longitudes de los lados oblicuos:


Fórmula de la condición de un trapecio isósceles circunscrito

El radio de la circunferencia inscrita es la mitad de la altura del trapecio:


Fórmula del radio de un trapecio isósceles circunscrito

Válido para los trapecios isósceles:


Dibujo del trapecio isósceles circunscrito en una circunferencia

Diagonales del trapecio isósceles

Dibujo de las diagonales del trapecio isósceles

La longitud de las diagonales iguales del trapecio isòsceles se pueden calcular mediante esta fórmula, a partir de la longitud de los cuatro lados del trapecio:


Fórmula de las diagonales del trapecio isósceles

Mediana del trapecio

La mediana M del trapecio es un segmento paralelo a sus bases situado a la mitad de su altura. Une los puntos medios de los lados oblicuos c y d.

Por el primer teorema de Tales, la mediana M corta a las dos diagonales D1 y D2 por sus puntos medios.

Su longitud, en función de sus bases, es:


Fórmula de la mediana del trapecio

Ejercicios

Ejercicio 1

Dibujo del ejemplo 1 del perímetro de un trapecio isósceles

Las bases de un trapecio isòsceles miden 9 cm y 3 cm, mientras que su altura es de 4 cm. Hallar su perímetro.

Solución:

Con la mitad de la diferencia entre las bases, la altura del trapecio y un lado oblicuo se forma un triangulo rectángulo, del que el lado oblicuo es la hipotenusa.

Dibujo del planteamiento del ejemplo 1 del perímetro de un trapecio isósceles

Los catetos son 4 cm y 3 cm. Hallaremos la hipotenusa c por el teorema de Pitágoras:


Cálculo del teorema de Pitágoras en el ejemplo 1 de trapecio isósceles

Tenemos que un lado oblicuo mide 5 cm. Aplicamos la fórmula del perímetro del trapecio isòsceles:


Cálculo de la solución en el ejemplo 1 de trapecio isósceles

Obtenemos que su perímetro es de 18 cm.

Ejercicio 2

Dibujo del ejemplo 2 del área de un trapecio isósceles

De un trapecio isòsceles conocemos sus dos bases de 9 cm y 3 cm. También sus lados oblicuos, que miden cada uno 6,71 cm. Hallar la longitud de sus diagonales y el área.

Solución:

Para hallar las diagonales iguales del trapecio isòsceles, aplicamos la fórmula que parte de saber los lados:


Fórmula de las diagonales del trapecio isósceles

Y sustituimos valores.


Cálculo de las diagonales en el ejemplo 2 de trapecio isósceles

El área del trapecio isòsceles se obtiene, a partir de sus lados, con la fórmula:


Fórmula del área del trapecio isósceles (segunda forma)

Y sustituimos valores.


Cálculo del área en el ejemplo 2 de trapecio isósceles

Se obtiene que su área es de 36 cm2.

90 Respuestas

  1. Frank dice:

    Area del trapecio isoceles en funcion del angulo formado por la horizontal y el lado

  2. Rosa Mercedes Aranda Corzano dice:

    Muy bien explicado los problemas; sin embargo dentro de todo lo que busco, no encuentro una solución a este problema. podría ayudarme? Hallar el area de un trapecio isosceles de bases 10 y 20, en el cual dos angulos interiores miden x y 3x

    • Respuestas dice:

      Los ángulos interiores de todo cuadrilátero suman 360°.
      2(x) + 2(3x) = 360°
      8x = 360°
      x = 45°
      La proyección de la base menor sobre la mayor deja dos segmentos de (20-10)/2 = 5
      Como los ángulos sobre la base menor miden 45°, los dos triángulos rectángulos formados con los lados oblicuos como hipotenusas tendran como catetos 5, luego la altura del trapecio es 5.
      Área = 5*(20+10)/2 = 75

  3. Marlon dice:

    El perímetro de un trapecio isósceles es 240. Calcula la medida de la mediana si cada lado no paralelo mide 50.

  4. Estefano Machado dice:

    1) En un trapecio isósceles, la altura mide igual que la mediana. Calcula el ángulo que forman las diagonales del trapecio al intersectarse.

    2) En un trapecio rectangular ABCD, recto en A y D, las bases miden AB = 9 cm y CD=25cm. Halla la altura del trapecio si las diagonales son perpendiculares.

    • Respuestas dice:

      Por construcción geométrica y semejanza de triángulos a partir del cuadrado que forman la mediana y la altura, verás que el ángulo que forman las diagonales es siempre de 90°
      La altura del trapecio rectángulo es 15 cm.

  5. Ernesto dice:

    Trapecio isosceles con base menor 2.5 m y lados 2.5 m calcular la altura y la base mayor

  6. KARINA dice:

    TRAPECIO ISOCELES CON PERIMETRO DE 64 CM, LA ALTURA DE 12 CM Y LA BMAYOR SUPERA EN 10 UNIDADES A LA B MENOR. HALLAR LA LONGITUD DE LAS BASES Y EL AREA DEL TRAPECIO

    • Respuestas dice:

      Base mayor a = b + 10
      Perímetro = a + b + 2c = (b + 10) + b + 2c = 64
      simplificando
      b + c = 27
      La proyección de b sobre a deja dos segmentos de 5 cm. Cada uno de ellos es el cateto (el otro es la altura h = 12) de un triángulo rectángulo de hipotenusa c, que es uno de los lados oblicuos.
      Pitágoras
      12² + 5² = c²
      c = 10,9 cm
      b = 27 – 10,9 = 16,1 cm
      Base mayor a = 16,1 + 10 = 26,1cm
      Área = (a +b)*h/2 = 253 cm

  7. Nacho dice:

    Dadas las bases” x” e “y “de un trapecio isósceles circunscrito a una circunferencia de radio conocido “r” y de area dada . Como puedo obtener el lado oblicuo “l” en función de la semisuma de las bases es decir “l”=(x+y)/2.

    • Respuestas dice:

      El área de un trapecio es A = (x + y)/2.
      x e y son las bases, según planteas
      En todo trapecio isósceles circunscrito a una circunferencia se verifica que:
      x + y = l + l = 2l
      Luego Área = (x + y)/2 * h
      Como, al estar circunscrito, ha de ser h = 2r
      (x + y)/2 = Á / 2r = l

  8. Leonela Araujo dice:

    una pregunta: un trapecio isósceles tiene bases que miden 12 y 20 pulg. Determinar la medida del angulo en su base mayor para que el lado no paralelo mida 6 pulgadas.

    • Respuestas dice:

      Si proyectas la base menor de 12 pulg sobre la base mayor, te quedan a ambos lados dos segmentos de (20 – 12)2 = 4 pulg.
      Uno de esos segmentos es un cateto (el otro es la altura del trapecio) y la hipotenusa el lado de 6 pulg.
      α = arc cos 4/6

  9. ALVERTO dice:

    ¿Cómo calcularias la distancia entre dos lados paralelos?

    • Respuestas dice:

      La distancia entre dos lados paralelos de un trapecio es su altura.
      Para calcularla, si tienes su área, aplicar la fórmula y despejar h

  10. Lucía dice:

    Teniendo un trapecio isósceles tengo los siguientes datos Base menor 2X – 1
    Base media X + 3
    Base mayor 3X – 2
    Perímetro 22cm.
    Mi pregunta es, cómo es la fórmula para hallar el valor de X para saber cuánto mide la base mayor, la base menor y los 2 lados iguales. (que ya se que la suma total es 22 cm )

    • Respuestas dice:

      Base mayor a = 3x – 2
      Base menor b = 2x – 1
      Mediana M = x + 3
      Perímetro = a + b + 2c

      x + 3 = (3x – 2 + 2x – 1) / 2;
      2x + 6 = 5x – 2 – 1;
      9 = 3x;
      x = 3;

      a = 7
      b = 5

      p = a + b + 2c;
      22 = 7 + 5 + 2c
      10 = 2c
      c = 5

  11. juan dice:

    Buenas, tengo una duda.
    La base mayor de un trapecio mide 12cm y la altura el doble de la base menor, el area es 160cm cuadrados, cuanto mide la altura y la base menor?

    • Respuestas dice:

      Base mayor, a = 12 cm
      Base menor b = b
      Altura, h = 2b
      Área = h*(a+b)/2
      160 = 2h*(12+b)/2
      160 = 2b*(12 + b)/2
      b2 + 12b – 160
      Resolución de ecuación de segundo grado. Raiz positiva
      b = 8 cm
      h = 16 cm

  12. German dice:

    Necesito resolver lo sig. En un trapecio isósceles, tengo el perímetro = 65cm. Ademas la base mayor=2x+5 y los lados oblicuos = x+10. Cuanto mide cada lado?

    • Respuestas dice:

      Si la base menor es x, entonces 65 = 2x+5 + 2(x+10) + x = 5x + 25.
      x = (65-25)/5 = 8
      Oblicuos = 8+10
      Mayor = 16+5
      8, 18, 18 y 21.

  13. JORGE GOMEZ dice:

    buen dia ocupaba la linea divisora exacta de un trapecio cuyos laterales son: 51.5 base mayor: 6.50 base menor: 4.5

    quisiera saber donde entraria la linea divisora de este terreno, tomando en cuenta que va incrementando su area de fondo, me urge y no se si me di a esplicar jeje gracias
    .

    • Respuestas dice:

      Jorge, me gustaria que ampliaras tu explicación. ¿Quieres decir que el terreno tiene forma de trapecio isósceles de lados oblícuos laterales iguales de 51,5 m, base mayor 6,50 m y base menor 4,5 m? Bases que deberían ser paralelas para que la forma del terreno fuese un trapecio.
      La pregunta de donde entraría la base divisoria, ¿a qué se refiere?.

  14. elia dice:

    necesito ayuda para saber el perimetro de un trapecio isosceles cullas bases son 25 centimetros y 5 centimetros y su altura es de 24 centimetros

    • Respuestas dice:

      Te salen dos triángulos rectángulos. Catetos (25 – 5) / 2 y el otro es la altura, 24.
      Hallas la hipotenusa, que es cada uno de los dos lados oblicuos.
      Sumas los cuatro lados y tienes el perímetro.

  15. maru dice:

    necesito ayuda. Trapecios isósceles. Si tengo base media 11cm y B. mayor 14 cm, debo hallar la medida de la base menor. ¿Cómo hago?

    • Respuestas dice:

      Aplica la fórmula que tienes en la página:
      Mediana = (a + b)/2.
      b = 2*Mediana – a = 2*11 – 14 = 22 – 14 = 8

  16. samuel dice:

    porfa ayudemen necesito las caracteristicas

  17. samuel dice:

    no entendi nada

  18. Greis dice:

    Como halló el perímetro del trapecio de datos tengo angulo=53° bh=4cm

    • Respuestas dice:

      Quieres decir que tanto la altura h como la base menor b miden 4 cm?
      Si fuese así, lado = h/sen 53°. X = h/tan 53&°.
      Base mayor:
      B = h + 2•X
      Sumas B+b+2lado = perímetro.
      Espero que sea eso.

  19. Jeffrey dice:

    Cómo hallo el ángulo de un trapecio isosceles si me dan como datos la base 20mm y altura 15mm?

    • Respuestas dice:

      Jeffrey, igual que se le respondió a Yaniel, con los datos que das caben infinitud de trapecios isósceles de 20 cm de base y 15 mm, pese a la gran desproporción entre 20 cm y 1,5 cm.

  20. Yaniel dice:

    Estimado si conozco la altura y la base mayor cómo encuentro la base menor?

    • Respuestas dice:

      Con la base mayor y la altura no puedes encontrar la base menor. Prueba gráficamente a trazar la base mayor y la altura y verás cuántos trapecios isósceles son posibles con esos dos datos.Desde prácticamente un rectángulo hasta otro trapecio con los mismos datos y una base menor tan pequeña que la figura se aproxime a un triángulo isósceles.

  21. Victor dice:

    Si en el trapecio isósceles solo me dan la base menor “(24-2x)” y los lados laterales son “x”-, y el angulo entre la base mayor y un lado lateral es “y”. Cuales serian los valores de “x” y “y” para maximizar el área.

    • Respuestas dice:

      x = 6, y = 90°
      Amáx = 72
      La solución es plantear la ecuación del área del trapecio.
      La proyección de x sobre la base inferior es x*cos y
      La altura es x*sen y
      Para resolver el problema del área máxima tenemos que ir a máximos y mínimos y derivadas, que se desarrollará próximamente en la web.
      Para simplificar, está claro que y tiene que ser 90° y el trapecio, en consecuencia, ser un rectángulo.
      Su área A = B*h = B*x*sen 90° = B*h= (24 -2x)*x = 24x – 2x2
      La derivada, un caso simple f'(x) = 24 – 4x
      Para el máximo 24 – 4x = 0; x = 6, que será tambien h.
      Las dos bases, Binf = Bsup = 24 – 2x = 24 – 2*6 = 12

  22. Adrian dice:

    Si tengo que hallar el area y el perimetro de un trapecio isosceles y te da de datos la base, el techo y la hipotenusa en decimetros, que se tendria que hacer?

    • Respuestas dice:

      Si “la hipotenusa” te refieres a una de las dos diagonales iguales del trapecio, tienes un triángulo rectángulo, donde el cateto de la base es b – (a – b)/2, la hipotenusa es la diagonal D1 y el cateto vertical es la altura del trapecio h.
      A partir de ahí, aplicar la fórmula del área y del perímetro.

  23. elkin dice:

    si tengo la base mayor comor hago para ayar la menor y las de sus lados son iguales ayudenme

    • Respuestas dice:

      Si tienes solamente la base mayor de un trapecio isósceles, aunque sepas que los dos lados oblicuos son iguales a la base menor, con esos datos no puedes hallar la base menor que buscas.
      Simplemente prueba a hacerlo gráficamente y verás cuántas posibilidades tienes. La más extrema seria un trapecio isósceles próximo a ser un cuadrado.

  24. Sara cardona dice:

    Hola tengo una pregunta cuando estoy hallando el volumen de un trapecio puedo simplificar la longitud con el 2 de la fórmula del área?? Es que lo vi en un video y no se si esta bien

  25. Deimer dice:

    Hola como puedo hallar el área de un trapecio la base mayor si sólo tengo la base menor, la altura y sus dos lados que ecuación debo de realizar

    • Respuestas dice:

      Debes aplicar dos veces el teorema de Pitágoras.
      Cada vez, la hipotenusa es uno de los dos lados conocidos y un cateto conocido es la altura del trapecio. Hallas el otro cateto.
      A los dos catetos hallados, les sumas la base menor y ya tienes la base mayor.
      Si el trapecio fuera isósceles, lo haces una vez y multiplicas el resultado por dos y le sumas la base menor.
      El área, ya sabes, suma de las bases dividido por 2 y multiplicado por la altura.

  26. H21 dice:

    Como hallo el área de la figura conformada por un trapesio isósceles y un cuadrado

  27. Angie dice:

    Pregunta
    Como determinó los ángulos si la medida es 2a y 3a

    • Respuestas dice:

      debes concretar y completar la pregunta. Y, si te refieres a un trapecio isósceles, decir a qué te refieres con 2a y 3a, si a las bases, las diagonales, a una base y altura. Y completa, que te faltan datos iniciales.

  28. Pablo dice:

    Hola! h es la distancia entre las bases siempre que midas una recta perpendicular a ellas. Excelente sitio. Saludos.

  29. Aleja dice:

    como calculo los angulos de un triangulo isosceles si solo me dan las bsses (30 y 45) y las los lados que son 12????

    • Universo Formulas Respuestas dice:

      Concreta un poco más, Aleja. Entiendo que dices que los dos lados iguales del triángulo isósceles son 12. Pero das dos bases: 30 y 45. Solo hay una en un triángulo. Y, además, no puede ser ninguna de las dos (ni 30 ni 45) pues suman más de 12+12.

  30. MU5 dice:

    calcular los lados de un trapecio isosceles si los lados no paralelos y la base menor tienen misma medida, la altura es 12 y la superficie es 288

    • Universo Formulas Respuestas dice:

      Si llamas a a la base menor y a los dos lados paralelos, la base mayor será a + 2x. x será uno de los catetos de un triángulo equilátero cuyo otro cateto es la altura 12 y a (lado no paralelo) la hipotenusa. Teorema de Pitágoras y despejas la x.
      Como sabes la fórmula del área del trapecio (la mitad de la suma de las bases por la altura) despejas la a. Tienes que resolver una ecuación de segundo grado.

  31. anthony dice:

    un trapecio isósceles tiene de altura 7u ya la suma de sus bases es 48 ¿cuanto mide su diagonal? ayuda x favor

  32. fernando magallanes dice:

    una pregunta me dedico hacer trabajos de manualidades y quiero hacer un trapecio isoceles bace inferir 30cn altura30cn bace superir22 cn cuantos gradostengo que cortar la madera gracias

    • Universo Formulas Respuestas dice:

      Fernando, te seria muy útil hacer el ejercicio tu mismo. Te ejercitarias en cálculo trigonométrico.
      Como el trapecio es isósceles y la diferencia entre bases es 30-22 = 8 cm, uno de los extremos de la base inferior sobresale de la superior la mitad, 4 cm.
      Se forma un triángulo rectángulo de base 4 cm y altura 30 cm (la del trapecio).
      Obtienes la tangente del ángulo 30 / 4 = 7,5.
      Su arcotangente es un ángulo de 82º 24′, que es el que buscas.

  33. Mónica dice:

    ¿se puede sacar el perímetro de un trapecio isósceles si no se tienen los valores de la base mayor, ni la base menor?

  34. DarioGamer dice:

    Gracias me sirvió

  35. Vanny dice:

    Me sirvio muchisiimo.. justo lo q buscaba.. Gracias..!! 😉

  36. Mike dice:

    Esta muy clara la informacion pero como se saca el perimetro si no tiene valor c

  37. nataly dice:

    esta informacion es muy clara e importante como tambies mu interesante

  38. nataly dice:

    es informacion me sirvio de mucha ayuda y aclaro mis dudas

  39. die dice:

    pregunta….Hallar las medidas de un trapecio isósceles sabiendo que la base menor mide 33cm y su perimetro 127 cm?

    • matts dice:

      primero hace 127-33 = 94 al resultado dividilo por 2 = 47 que es la base mayor
      despues hace la ecuacion
      P= 33+47+2.L= 127
      47+2.L = 127-33
      2.L= 94-47
      L=47:2
      L= 23,5
      y esa es la medida de los Lados

  40. Melany Caro dice:

    Muy buena esta informacion, me sirvio de mucho

  41. Adolfo dice:

    Excelente y muy completo, gracias

  42. jossie jael dice:

    gracias sirve de muya ayuda me sacaron un diez

  43. Johan dice:

    Como hallo la medida de los lados?

  44. Pepe dice:

    Pa k kieres saber eso jaja salu2

  45. Mary A. M. dice:

    Le figura es un trapecio

  46. Mary A. M. dice:

    Cómo saber el perímetro si sólo tengo bases de 45 y 23 y la altura de 9. Es un ejercicio de primaria

  47. alejo dice:

    En un triángulo, se traza la altura BH, sí M, N y
    Q, son puntos medios de AB, BC, AC,
    respectivamente, demostrar que el
    cuadrilátero, es un trapecio isósceles. Rpta.
    MQ=HN.

  48. Sofiux dice:

    La informacion se entiende bastante bien!

    Muchas gracias!

  49. Juan Montalvo dice:

    Muy clara y precisa la información. Muchas gracias

  50. Becky dice:

    Chulisima que way es esta pagina

  51. Becky dice:

    Super chula soy de Cuba pero vivo en New york y me sirvio

  52. joselyn dice:

    Gracias me alludo mucho

  53. bernardo olivares dice:

    tengo un problema .
    Una piscina tiene 210 m2 de área y está formada por un rectángulo para los adultos y un
    trapecio para los niños. Halle:
     El área de cada zona de la piscina.
     La longitud de la piscina de adultos

  54. Mariana dice:

    Interesante

  55. ana dice:

    Aja clarita solo para escribir y nada mas

  56. Nicolás dice:

    Buena información y muy clara, gracias.

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