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Tetraedro

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Dibujo de un tetraedro

Un tetraedro regular es un poliedro cuya superficie está formada por cuatro triángulos equiláteros iguales.

Es uno de los cinco sólidos platónicos.

Según el Teorema de Euler para poliedros, el tetraedro tiene cuatro caras, seis aristas y cuatro vértices.

En cada uno de sus vértices concurren tres caras.

Tetraedro irregular

El tetraedro irregular es un poliedro formado por cuatro poliedros diferentes. Dos casos son:

Dibujo de un tetraedro trirrectángulo

El tetraedro trirrectángulo tiene tres caras que son triángulos rectángulos, de los que sus ángulos rectos concurren en un mismo vértice. Sus cuatro alturas concurren en un punto. Es ortocéntrico.

Dibujo de un tetraedro isofacial

El tetraedro isofacial es otro poliedro irregular cuya base es un triángulo rectángulo y sus tres cares laterales son tres triángulos isósceles iguales. Es una pirámide triangular regular.

Área del tetraedro

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Dibujo del área del tetraedro

A partir de la arista se pueden obtener el área del tetraedro regular:


Fórmula del área del tetraedro

¿Cómo se obtiene la fórmula?

Como éste consta de cuatro caras que son triángulos equiláteros, sabemos que el área de un triángulo equilátero es:


Cálculo de la fórmula del área del tetraedro

Volumen del tetraedro

Su volumen se calcula a partir de una de sus aristas (a):


Fórmula del volumen del tetraedro

¿Cómo se obtiene la fórmula?

Veamos la procedencia de esta fórmula. Sabemos el volumen de la pirámide, que es un tercio del área de la base por el altura.

Hallemos en primer lugar la altura de esta pirámide particular.

Dibujo de un un tetraedro para el demostrar la fórmula de su volumen

Fijémonos en el triángulo rectángulo marcado en rojo en la figura, en donde la hipotenusa es la arista a, el cateto de la base OV es las dos terceras partes (Altura del triángulo equilátero) de la altura de cualquier cara, que son triángulos equiláteros. En centros de un triángulo vemos que el punto O, que es donde confluyen las alturas de un triángulo equilátero, el ortocentro se encuentra a dos tercios del vértice. El otro cateto, ht es la altura buscada.

Aplicamos el teorema de Pitágoras:


Cálculo 1 para obtener la fórmula del volumen del tetraedro

Una vez tenemos su altura, podemos sustituir su expresión en la fórmula del volumen de la pirámide.


Cálculo 2 para obtener la fórmula del volumen del tetraedro

¿Sabias qué los poliedros regulares se conocen también como sólidos perfectos o sólidos platónicos? Se conocen desde la antigüedad clásica. Aunque le atribuyen a Pitágoras (569 a.C. – 475 a.C). el descubrimiento de los cuatro primeros y su escuela el restante, fué Platón (427 a.C – 347 a.C.) quien los cita en sus Diálogos. Les da un carácter místico, asociándolos a los elementos de la filosofía clásica: al tetraedro, el fuego, al cubo, la tierra, al octaedro, el aire, al dodecaedro, los límites del universo y al icosaedro, el agua.

2 Respuestas

  1. me encanta esta pagina es la mejor al igual que wikipedia

  2. arnold dice:

    muchisimas grasias me sirvio esta consulta grasias

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