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Teorema de Tales

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El Teorema de Tales (también dicho teorema de Thales) son fundamentales de la geometría y se componen de dos teoremas.

Primer teorema de Tales

Dibujo del Primer Teorema de Tales

El Primer Teorema de Tales enuncia que si en un triángulo dado se traza un segmento paralelo a uno de sus tres lados, el nuevo triángulo generado será semejante al primero.

Al triángulo Δ ABC se le traza el segmento A’C’. Vemos que aparece un nuevo triángulo Δ A’BC’ semejante al primero. Tienen sus tres ángulos iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.

De acuerdo con el teorema, se verifica que:


Fórmula de la proporción del Primer Teorema de Tales

Esa razón de proporcionalidad se mantiene entre dos lados de un mismo triángulo y también entre los lados correspondientes del otro.


Fórmula del mantenimiento de la proporción del Primer Teorema de Tales

Otra variante del primer teorema de Tales

Dibujo de la variante de las rectas del Primer Teorema de Tales

Si dos rectas cualquiera (en la imagen: m y n) son cortadas por una serie de rectas paralelas (en la imagen: r, s y t), los segmentos que se forman en una de ellas son proporcionales a los segmentos correspondientes formadas en la otra recta.

Donde se sigue verificando la razón de proporcionalidad que se ha visto en la primera formulación de este teorema:


Fórmula de la proporción en el Corolario del Primer Teorema de Tales

Esta razón o igualdades determinan a su vez al criterio de paralelismo de rectas.

¿Sabías qué Tales de Mileto (nacido en la isla jonia de Mileto en el s. VII a.de C.) ha sido considerado uno de los Siete Sabios de Grecia? Destacó en la filosofía, la astronomía, geometría, ingeniería y…hasta en la política).

Influenciado por el saber egipcio y babilonio, se dijo (sostenido, entre otros, por Plutarco) que basándose en su primer teorema y a través de la medida de las sombras, averiguó la altura de las pirámides de Giza.

Segundo teorema de Tales

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Dibujo del Segundo Teorema de Tales

El segundo teorema de Tales está relacionado con los triángulos rectángulos inscritos en una circunferencia.

El teorema dice lo siguiente:

En una circunferencia de centro en O y diámetro AC, cualquier punto B de esa circunferencia no perteneciente a AC determina un triángulo rectángulo Δ ABC con el ángulo de 90° en B.

El centro O es el circuncentro del triángulo rectángulo.

Demostración

Demostración geométrica del segundo teorema de Tales:

El segmento BO divide al triángulo Δ ABC en dos triángulos: Δ ABO y Δ OBC. Estos dos triángulos son isósceles, porque los lados OA, OB y OC son iguales. Los tres son radios r de la circunferencia.

Dibujo de la demostracion del Segundo Teorema de Tales

Por ser triángulos isósceles, tienen cada uno de ellos dos ángulos iguales: α y β.

Como en todo triángulo, los ángulos interiores del triángulo Δ ABC suman 180°:


Cálculo 1 de la demostración del Segundo Teorema de Tales

Dividiendo la igualdad por 2:


Cálculo 2 de la demostración del Segundo Teorema de Tales

Como α + β es el ángulo del Δ ABC en B, queda demostrado el segundo teorema de Tales.

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