Teorema de la altura

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Triángulo rectángulo

Se divide el triángulo rectángulo (ABC) por su altura (h) en dos triángulos rectángulos más pequeños, (CAD y CDB).


Triángulo rectángulo dividido en dos triángulos rectángulos más pequeños

El Teorema de la altura relaciona la altura (h) del triángulo y los catetos de dos triángulos semejantes al principal ABC, al trazar la altura h sobre la hipotenusa, enunciando lo siguiente:


En todo triángulo rectángulo, la altura (h) relativa a la hipotenusa es la media geométrica de las dos proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (n y m).

Dibujo del triángulo rectángulo para el teorema de la altura


Fórmula del teorema de la altura


La principal aplicación de este teorema es calcular la altura (h) del triángulo rectángulo a partir de los segmentos en los que se divide la hipotenusa (n y m). Conociendo la hipotenusa y la altura (h), se puede calcular el área del triángulo rectángulo.

Altura del triángulo rectángulo a partir de los lados

Dibujo del triángulo rectángulo para el teorema de la altura

Aplicándole el teorema del cateto a la fórmula de la altura que se tiene en el teorema de la altura, se puede obtener la altura del triángulo rectángulo sabiendo sus tres lados.


Fórmula de la altura por el teorema de la altura a partir de los lados

Se aplica las fórmulas del teorema del cateto que relacionan las proyecciones de los catetos con los lados.


Cálculo de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa a partir de los lados

Sustituyendo en la fórmula de la altura se obtiene:


Cálculo de la altura del triángulo rectángulo a partir de sus lados

Ejemplo

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Ejemplo de la aplicación del teorema de la altura para el cálculo de su altura

Sea un triángulo rectángulo del que se conocen los segmentos en los que divide la altura (h) la hipotenusa (c). Estos segmentos son n=3 cm y m=12 cm.

A partir de los segmentos, gracias al teorema de la altura se puede calcular la altura (h) del triángulo:


Cálculo de la altura de un triángulo por el teorema de la altura

La altura del triángulo es de h=6 cm. La hipotenusa es la suma de los segmentos n y m, es decir c=n+m=3+12=15 cm.

A partir de la hipotenusa y la la altura correspondiente a ésta, se puede calcular el área del triángulo rectángulo.


Cálculo del área de un triángulo rectángulo por el teorema de la altura

Relación entre catetos e hipotenusa

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras relaciona la longitud de los catetos y la hipotenusa. Enuncia que:


Todos los triángulos rectángulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al ángulo recto (catetos) al cuadrado. Es decir:

Triángulo rectángulo


Fórmula del teorema de Pitágoras


Teorema del cateto

El teorema del cateto relaciona los segmentos proyectados por los catetos sobre la hipotenusa con cada uno de los catetos.

Dibujo del triángulo rectángulo para el teorema del cateto.

En todo triángulo rectángulo, un cateto (a o b) es la media geométrica entre la hipotenusa (c) y la proyección de ese cateto sobre ella (n o m).


Fórmula del teorema del cateto


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