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Semejanza de triángulos

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La semejanza de triángulos es una característica que hace que dos o más triángulos sean semejantes.

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales (o congruentes) y sus lados correspondientes (u homólogos) son proporcionales.

Son lados homólogos los opuestos a ángulos iguales.

Aquí tenemos un caso, donde se ven los elementos homólogos (ángulos y lados) con la igualdad o congruencia de sus ángulos y la proporcionalidad de los lados:


Dibujo de dos triángulos semejantes

En los triángulos semejantes se cumplen las condiciones siguientes:

  • Los ángulos homólogos son iguales:


    Condición de los ángulos en la semejanza de triángulos

  • Los lados homólogos son proporcionales:


    Condición de los lados en la semejanza de triángulos

    A r se le denomina razón de semejanza.

  • Se cumple que la razón de los perímetros de dos triángulos semejantes es también la razón de semejanza y que la razón de sus áreas es el cuadrado de la razón de semejanza:


    Condición de la proporcionalidad de los perímetros entre triángulos semejantes

Para saber si dos triángulos son semejantes no es necesario conocer sus tres ángulos y sus tres lados. Existen tres criterios para asegurarlo.

Criterios de semejanza de dos triángulos

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  1. Que tengan dos ángulos iguales. (El tercero lo será, porque los tres tienen que sumar 180°).


    Dibujo del criterio 1 un para triángulos semejantes

    Si α = α’ y β = β’, entonces los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes.

  2. Que tengan dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos sea igual.


    Dibujo del criterio 2 un para triángulos semejantes

    Entonces:


    Fórmula del criterio 2 de triángulos semejantes

    Y, además, α = α’, entonces los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes.

  3. Que tengan sus tres lados correspondientes proporcionales.


    Dibujo del criterio 3 un para triángulos semejantes

    Entonces:


    Condición de los lados en la semejanza de triángulos

    Tenemos también que los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes.

Triángulos en posición de Tales

Cuando dos triángulos tienen un ángulo común y sus lados opuestos a ese ángulo son paralelos entre sí, entonces esos triángulos son semejantes.


Dibujo de la posición de Tales para triángulos semejantes

Esta condición es la que establece el primer teorema de Tales.

Y, por tanto, se cumple que:


Fórmula de la posición de Tales en la semejanza de triángulos

Ejercicio 1


Dibujo del ejercicio 1 de triángulos semejantes

Los dos triángulos de la figura tienen sus lados de longitudes: 7,6 cm, 4,18 cm y 6,65 cm, el primero de ellos, mientras que los lados del segundo triángulo miden 4 cm, 2,2 cm y 3,5 cm. Se pregunta si estos triángulos son semejantes.

Solución:

Como se saben los tres lados de los dos triángulos, aplicamos el tercer criterio de semejanza.


Cálculo 1 en el ejercicio 1 de semejanza de triángulos

Como la razón entre los lados correspondientes de los dos triángulos es la misma (razón de semejanza = 1,9) los dos triángulos son semejantes.

Ejercicio 2


Dibujo del ejercicio 2 de triángulos semejantes

Tenemos dos triángulos: el mayor dos lados de 10 cm y 5,5 cm concurren en el ángulo γ de 70°, mientras que del menor se conocen sus tres lados, de 4 cm, 2,2 cm y 3,5 cm. Se pregunta si estos triángulos son semejantes.

Solución:

En este caso, los tres datos conocidos de cada triángulo no se corresponden al mismo criterio de los tres expuestos. Para hallar el lado c desconocido en el triángulo mayor recurrimos al procedimiento expuesto en resolución de triángulos, en el apartado de “conocer dos lados y el ángulo que forman”, en el que hay que aplicar el teorema del coseno.


Cálculo del lado c en el ejercicio 2 de semejanza de triángulos

El lado c mide 9,64 cm.

Como ya conocemos los tres lados de cada triángulo, obtendremos la razón entre cada par de lados homólogos, para ver si es la misma razón, que confirmará si estos triángulos son semejantes o no:


Cálculo de la solución en el ejercicio 2 de semejanza de triángulos

Se comprueba que los tres lados no son proporcionales. Por lo tanto, estos dos triángulos no son semejantes.

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