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Parábola

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Dibujo de la parábola

Una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco y de una recta fija del mismo plano llamada directriz.

Dibujo de la parábola como producto de la intersección del cono con un plano.

La parábola es una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del mismo, oblicuo a su eje y paralelo a una generatriz g de la superficie cónica.

El foco y la directriz determinan cómo va a ser la apariencia de la parábola (en el sentido de que “parecerá” más o menos abierta según sea la distancia entre F y la directriz). Todas las parábolas son semejantes. Su excentricidad es 1 en todos los casos. Solamente varía la escala.

Movimiento parabólico de una partícula describiendo una trayectoria parabólica.

Una de las aplicaciones físicas más importantes de la parábola es el movimiento parabólico. Este movimiento se caracteriza porque una partícula o cuerpo sólido lanzado en un campo gravitatorio recorre una trayectoria parabólica.

Una aplicación práctica de la parábola son las antenas parabólicas, en las que todas las rectas paralelas al eje de la parábola se reflejan en el foco de la misma. (Empleado en óptica, antenas de transmisión de radiofrecuencia, estufas domésticas parabólicas, captación de energía solar, etc.)

Elementos de una parábola

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Los elementos de la parábola son:

Dibujo de los elementos de una parábola: del foco, directriz, radio vector y eje

  • Foco: el foco F es el punto fijo. Los puntos de la parábola equidistan del foco y la directriz.
  • Directriz: es la recta fija D. Los puntos de la parábola equidistan de la directriz y el foco.
  • Radio vector: es el segmento R que une el foco con cada uno de los puntos de la parábola. Es igual al segmento perpendicular a la directriz desde el punto correspondiente.
  • Eje: es la recta E perpendicular a la directriz que pasa por el foco y el vértice. Es el eje de simetría de la parábola.

Dibujo de los elementos de una parábola: del parámetro, vértice y puntos interiores y exteriores

  • Parámetro: es el vector p, que va desde el foco al punto más próximo de la directriz.

    Es importante el signo del parámetro. En las parábolas verticales, cuando el parámetro es positivo la parábola se abre hacia arriba. Cuando p es negativo, la parábola se abre hacia abajo. Igualmente, en las parábolas horizontales, cuando p es positivo, se abre hacia la derecha y cuando p es negativo, la parábola se abre a la izquierda.

  • Vértice: es el punto V de la intersección del eje y la parábola.
  • Distancia focal: distancia entre el foco F y el vértice V. Es igual a p/2.
  • Puntos interiores y exteriores: la parábola divide el plano en dos regiones. Los puntos que están en la región del foco se llaman puntos interiores (I), mientras que los otros son los exteriores (J).
  • Cuerda: segmento que une dos puntos cualesquiera de la parábola.
  • Cuerda focal: una cuerda que pasa por el foco F.
  • Lado recto: Cuerda focal paralela a la directriz D y, por tanto, perpendicular al eje E. Su longitud es dos veces el parámetro (2p, pues se ven en la figura dos cuadrados unidos iguales de lado p).


Dibujo de los elementos de una parábola: de la cuerda, cuerda focal y lado recto

Excentricidad de la parábola

Dibujo de la excentricidad de la parábola

La parábola es la única de las cónicas cuya excentricidad es siempre 1.

Veamos la figura.

Por la misma definición de parábola, su excentricidad siempre es la unidad. De esto deriva que todas las parábolas sean semejantes, variando su apariencia de cerradas o abiertas, según la escala.

Ecuación de la parábola

La ecuación de la parábola depende de si el eje es vertical u horizontal. Si el eje es vertical, la y será la variable dependiente. Si el eje es horizontal, será x la variable dependiente.

Ecuación canónica o reducida de la parábola

Dibujo de la ecuación de la parábola hacia la derecha

Consideremos una parábola cuyo eje es el eje de ordenadas, su vértice es el centro de coordenadas V (0, 0) y que está en la parte positiva de las x. En este caso, el foco estará necesariamente en F (p/2,0) . La ecuación de la recta directriz D será x = –p/2.

Los radios vectores FP y PM, correspondientes a cualquier punto P de la parábola (que, por definición, son iguales) tendrán la longitud:


Fórmula de las operaciones canónicas en la ecuación de una parábola hacia la derecha

Operando y simplificando, obtenemos la ecuación canónica o reducida de la parábola referida a esta configuración:


Fórmula de la ecuación canónica de la parábola hacia la derecha

Dibujo de la ecuación de la parábola hacia la derecha trasladado

Si se desplaza paralelamente el eje E al eje de ordenadas y el vértice de la parábola se lleva al punto V (xV,yV), la ecuación de esta parábola ahora será la que se muestra en la imagen. También se muestra la ecuación de la recta directriz D.

Ecuación canónica o reducida de la parábola, pero ahora con su eje coincidente con el eje de las abscisas, su vértice es el centro de coordenadas V (0,0) y que está en la parte positiva de las y.

Dibujo de la ecuación de la parábola hacia arriba

Si se desplaza paralelamente el eje E al eje de las abscisas y el vértice de la parábola se lleva al punto V (xV,yV), la ecuación de esta parábola ahora será la que se muestra en la imagen.


Dibujo de la ecuación de la parábola hacia arriba trasladado

Análogamente, vemos las expresiones de la ecuación canónica o reducida para las parábolas con ejes coincidentes con el eje de ordenadas o con el eje de abscisas, siempre con el vértice en el origen O (0,0), pero ahora con valores negativos de las x y de las y respectivamente. Se muestra en las dos imágenes siguientes:


Dibujo de la ecuación de la parábola hacia la izquierda

Y la segunda:


Dibujo de la ecuación de la parábola hacia abajo

Otras ecuaciones de la parábola

La ecuación de la parábola con vértice V (xV,yV) y el eje vertical paralelo al eje OY es:


Fórmula de la ecuación general de una parábola vertical

En la que las constantes tienen el siguiente valor:


Fórmula de las constantes en la ecuación general de una parábola vertical

Donde a ≠ 0 y b y c son números reales.

Lo vemos en la imagen:


Dibujo de la ecuación de la parábola vertical

La constante a indica lo “abierta” que es la parábola. Cuando el valor de a es menor, la parábola aparecerá más abierta. Dicho de otra manera, la parábola aparecerá más abierta cuando el parámetro p sea mayor. Si la constante a es positiva, el vértice V será el mínimo de la parábola, es decir, se abre hacia arriba. Si la constante a es negativa, el vértice V será máximo de la parábola, o sea, que se abre hacia abajo.


Dibujo de las diferentes clases de parábola con el eje vertical según su pendiente y si la a es negativa o positiva

La ecuación de la parábola con vértice V (xV,yV) y el eje horizontal paralelo al eje OX es:


Fórmula de la ecuación general de una parábola horizontal

En la que las constantes tienen el siguiente valor:


Fórmula de las constantes en la ecuación general de una parábola horizontal

La constante a indica lo “abierta” que es la parábola. Cuando el valor de a es menor, la parábola aparecerá más abierta. Dicho de otra manera, la parábola aparecerá más abierta cuando el parámetro p sea mayor. Si la constante a es positiva, la parábola se abre hacia la derecha. Si la constante a es negativa, la parábola se abre hacia la izquierda.


Dibujo de las diferentes clases de parábola con el eje vertical según su pendiente y si la a es negativa o positiva

Ecuación general de la parábola

Los casos anteriores donde el eje es vertical u horizontal, son casos particulares de la ecuación general de la parábola.


Fórmula de la ecuación general de la parábola

Veamos casos de parábolas en los que sus ejes no son verticales ni horizontales. Es el caso de la parábola inclinada o parábola oblicua.


Dibujo de las parábolas inclinadas u oblicuas

En estos cuatro casos su ecuación tiene todos los términos de la ecuación general de la parábola.

Se puede comprobar que en las cuatro parábolas se cumplen las dos condiciones de la ecuación general de la parábola, es decir que B2 – 4AC = 0 y que A y C no son nulos al mismo tiempo.

Raíces de una parábola

Las raíces de una parábola vertical de ecuación son los puntos de la misma de ordenada nula (y = 0), es decir, allí donde la parábola corta al eje de ordenadas OX.


Cálculo de la ecuación de la parábola vertical en las raíces de la parábola

Una parábola vertical puede tener dos raíces, una o ninguna.

Como en el corte con OX, y = 0, los puntos de cortes serán las raíces de una ecuación de segundo grado:


Fórmula de la ecuación de las raíces de la parábola vertical

Cuyas raíces se hallan por la fórmula:


Cálculo de la ecuación de segundo grado en las raíces de la parábola vertical

Donde el binomio que se halla dentro de la raíz cuadrada es el que determina el número de raíces de la parábola.


Cálculo del criterio de las raíces en las raíces de la parábola vertical

Los tres casos y la aplicación del criterio se ilustra en estas tres parábolas:


Dibujo de los tres casos en las raíces de una parábola vertical

Así, en el caso de dos raíces, podemos hacer este desarrollo:


Cálculo de la suma de raíces en las raíces de la parábola vertical

Por el punto medio de las dos raíces pasará el eje de la parábola, su eje de simetría. El resultado coincide con el hallado para ordenada del vértice de una parábola vertical.

Si la parábola vertical tuviese una raíz, la ordenada del vértice será el valor de la misma raíz y, por tanto, la ecuación del eje de la parábola:


Cálculo de la ordenada de una raiz en las raíces de la parábola vertical

A partir de aquí, la ecuación de la parábola vertical se puede expresar también así:


Cálculo de la ordenada de las dos raíces en las raíces de la parábola vertical

La parábola vertical cortará al eje OY cuando la ordenada sea nula, cuando x = 0.


Dibujo de el corte en el eje OY en las raíces de una parábola vertical

Vértice de una parábola

El vértice de una parábola vertical V es el punto donde la parábola corta a su eje.

La ecuación de la parábola vertical se puede expresar de estas dos formas:


Cálculo de las dos formas de ecuación de parábola vertical en el vértice de una parábola

Desarrollando el cuadrado del segundo binomio:


Cálculo del desarrollo del binomio en el vértice de una parábola

De donde obtenemos el coeficiente b y, a partir de él, la ordenada del vértice xV:


Fórmula de la ordenada del vértice de una parábola

Sustituyendo la expresión de la ordenada del vértice xV en la ecuación anterior, desarrollando y simplificando con el común denominador 4a, obtenemos:


Fórmula de la abscisa del vértice de una parábola

El resultado lo vemos en la imagen:


Dibujo del vértice de la parábola

Tangente a la parábola

Dibujo de la tangente de una parábola

Las rectas tangente y normal a cualquier punto P de una parábola son las bisectrices de los ángulos formados por los radios vectores correspondientes a ese punto. De las dos bisectrices, hay que tener en cuenta cuál es la tangente y cuál la normal.

Las dos tangentes que pasan por los extremos del lado recto son perpendiculares entre sí y se cortan en la intersección de la directriz con el eje. Con este último forman dos ángulos de 45°.


Dibujo de la tangente de una parábola al lado recto

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje de las abscisas OY, que pasa por el punto P (4,0) y su vértice está en V (2,-1).

Hacer su representación gráfica.

Solución:

Como el eje de la parábola E es paralelo al eje OY, la ecuación de la parábola será del tipo:


Cálculo del tipo de ecuación en el ejemplo 1 de ecuación de la parábola

Sustituyendo las coordenadas del vértice en la ecuación:


Cálculo del tipo de ecuación sustituyendo el vértice en el ejemplo 1 de ecuación de la parábola

Sabemos que la parábola pasa por P (4,0), luego:


Cálculo del tipo de ecuación sustituyendo el vértice en el ejemplo 1 de ecuación de la parábola

Ésta es la ecuación buscada. Como la ordenada del vértice es 2, la ecuación del eje de la parábola, paralelo a OY será x = 2.

Finalmente, como hemos averiguado el parámetro p = 2, la recta directriz, que es perpendicular al eje E y paralelo al eje de ordenadas OX, estará a p/2 del vértice, luego su ecuación será y = -1 –p/2 = -2.

El resultado del ejercicio lo vemos en la imagen:


Dibujo de la gráfica del ejercicio 1 de ecuación de la parábola

Ejercicio 2

La ecuación de una parábola es y2 = 6x -3. ¿Cuáles serán las ecuaciones de las rectas tangente y normal de ordenada en un punto P de la parábola x = 6,5 y abscisa positiva?


Dibujo de la gráfica del ejercicio 2 de ecuación de la parábola

Solución:

Las abscisas de ordenada 6 serán:


Cálculo de las abscisas en el ejemplo 2 de ecuación de la parábola

Tomaremos +6, pues la abscisa tiene que ser positiva, según el enunciado.

Por tanto, las coordenadas del punto de tangencia serán: P (6,5, 6).

La ecuación de la parábola de este ejercicio se puede transformar en:


Cálculo de la segunda ecuación en el ejemplo 2 de ecuación de la parábola

Recordemos que es una parábola horizontal, cuya ecuación general es:


Fórmula de la ecuación general de una parábola horizontal

En la que las constantes tienen el siguiente valor:


Cálculo de las constantes en el ejemplo 2 de ecuación de la parábola

El parámetro p se puede hallar por la fórmula del coeficiente a de la variable al cuadrado de una parábola:


Cálculo del valor de p en el ejemplo 2 de ecuación de la parábola

La abscisa yV del vértice V es la siguiente:


Cálculo de la abscisa del vértice en el ejemplo 2 de ecuación de la parábola

La ordenada xV del vértice V es la siguiente:


Cálculo de la ordenada del vértice en el ejemplo 2 de ecuación de la parábola

Las coordenadas del vértice serán: V (1,5 , 0).

Como la abscisa del vértice yV = 0, el eje E y el foco F están sobre el eje OX.

Por lo tanto, las coordenadas del foco F serán:


Cálculo de la ordenada del foco en el ejemplo 2 de ecuación de la parábola

Y las coordenadas del foco F (2, 0).

La recta del radio vector FP la obtenemos por la fórmula de la recta que pasa por dos puntos:


Cálculo del radio vector FP en el ejemplo 2 de ecuación de la parábola

La ecuación de la recta perpendicular a la directriz D desde el punto P es x = 6.

Con las ecuaciones de los radios vectores, podemos aplicar la ecuación de la bisectriz, que será las ecuaciones de la tangente y la normal a la parábola del ejercicio en el punto P (6,5 , 6).


Cálculo de las fórmulas de las bisectrices en el ejemplo 2 de ecuación de la parábola

Como la tangente tiene pendiente positiva, se emplea el signo positivo “+”.


Cálculo de la ecuación de la tangente en el ejemplo 2 de ecuación de la parábola

La recta normal en P tiene pendiente negativa, por lo que se emplea el signo “-“.


Cálculo de la ecuación de la normal en el ejemplo 2 de ecuación de la parábola

El resultado aparece en esta imagen.


Dibujo del resultado del ejercicio 2 de ecuación de la parábola

Ejercicio 3

Hallar la ecuación de una parábola vertical abierta hacia arriba, sabiendo que las coordenadas de su vértice son V (2,-1) y la de uno de sus puntos P (-2,3).


Dibujo de la gráfica del ejercicio 3 de ecuación de la parábola

Solución:

Si la parábola es abierta hacia arriba, sabemos que su vértice es el mínimo de esta parábola.

Además, si la parábola es vertical, su ecuación se puede escribir de la forma:


Cálculo de la ecuación 1 en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Para que un punto de una función sea un máximo o un mínimo, debe cumplirse que su derivada sea nula. La derivamos y la igualamos a cero:


Cálculo de la derivada en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Asignándole las coordenadas del vértice, que es un mínimo de la parábola, a la derivada:


Cálculo del máximo de la derivada en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Despejamos b:


Cálculo de la ecuación 2 en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Vamos a sustituir los valores de las coordenadas de los dos puntos conocidos, V (2,-1) y P (-2,3) en la ecuación (Ec 1):


Cálculo al sustituir en la ecuación 1 en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Operando:


Cálculo de las ecuaciones 3 y 4 en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Sustituimos b de la (Ec 2) en las ecuaciones (Ec 3) y (Ec 4).


Cálculo al sustituir en las ecuaciones 3 y 4 en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

De estas dos últimas ecuaciones, restamos miembro a miembro la segunda de la primera:


Cálculo al restar miembro a miembro en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Sustituimos el valor hallado de a en la (Ec 2):


Cálculo al sustituir en la ecuación 2 en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Y, por fin, los valores de a y b:


Cálculo de los valores a y b en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Asignamos el valor de las constantes a, b y c a (Ec 1) y tenemos la ecuación de la parábola que buscábamos.


Cálculo de la solución en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola


Dibujo de la solución del ejercicio 3 de ecuación de la parábola

Ejercicio 4

Conocemos de una parábola dos puntos, M (-4,-8) y N (8,-8) y su parámetro p = -2. Hallar las coordenadas de su vértice y la ecuación de la parábola.

Solución:

Como yM = yN = -8, se trata de una parábola de eje vertical.

El parámetro es negativo, por lo que se trata de una parábola abierta hacia abajo, como se ve en la figura:


Dibujo de la gráfica del ejercicio 4 de ecuación de la parábola

La ecuación de la parábola vertical es:


Cálculo de la ecuación 1 en el ejemplo 4 de ecuación de la parábola

Sustituimos en esta ecuación (Ec 1) sucesivamente las coordenadas de M y N:


Cálculo de la ecuación 2 en el ejemplo 4 de ecuación de la parábola

Y, ahora, las coordenadas de N:


Cálculo de la ecuación 3 en el ejemplo 4 de ecuación de la parábola

Como los dos segundos términos son iguales, igualamos los primeros términos de las dos ecuaciones (Ec 2) y (Ec 3):


Cálculo de la ecuación 4 en el ejemplo 4 de ecuación de la parábola

Sustituimos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones anteriores, por ejemplo en(Ec 4):


Cálculo al sustituir en la ecuación 4 en el ejemplo 4 de ecuación de la parábola

Las coordenadas del vértice son: V(2, 1).

Sustituimos las coordenadas del vértice halladas en la ecuación (Ec 1).


Cálculo al sustituir en la ecuación 1 en el ejemplo 4 de ecuación de la parábola

Que es la ecuación buscada de la parábola.


Dibujo de la solución del ejercicio 4 de ecuación de la parábola

10 Respuestas

  1. Respuestas dice:

    Si tienes solamente dos puntos, sin ningún dato más, no puedes hallar la ecuación de la parábola.

    • Jose Ro dice:

      si esos puntos son el vertice y el foco si se podría

    • Respuestas dice:

      Se entiende que son dos puntos pertenecientes a la parábola sin ninguna especificación más. Se podría calcular conociendo un punto cualquiera y se especificasen las coordenadas del vértice, siempre que la parábola fuese vertical, es decir, con el eje paralelo a OY

  2. Vinus Guerrero dice:

    tengo una pregunta ¿como podría yo encontrar la parábola diagonal (aquella que su valor es X=Y), no encuentro la formula, pero entiendo que se crea una linea llamada “Z”, si estoy mal, por favor díganme, me confunde un poco ese pedazo

  3. NeoxSSGSS dice:

    Una pregunta, esto sirve para instalar una antena parabolica en la circuncision estatal que morgan freeman estudio cuando se creo la Tierra?

  4. ngbbhibgnuigb dice:

    perfecto

  5. Carlos Guevara dice:

    Las funciones que están en las gráficas no coinciden con las gráficas.

  6. JULISSA dice:

    TODO BIEN ENTENDIDO Y FASIL DE COMPRENDER

  7. joz dice:

    que interesante

  8. Jaime dice:

    mi estimado, creo que esta mal nominado la ecuación en los gráficos.

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