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Ortocentro de un triángulo

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Dibujo del ortocentro de un triángulo como intersección de las tres alturas.

El ortocentro de un triángulo H es el punto intersección de las tres alturas del triángulo.

Las alturas (ha, hb y hc) son los segmentos perpendiculares a cada lado que va desde el vértice opuesto a este lado (o a su prolongación). También pueden entenderse como la distancia de un lado al vértice opuesto.

Dibujo del ortocentro exterior al triángulo y sus tres alturas.

El ortocentro podría estar en el exterior del triángulo, en el caso de que sea un triángulo obtusángulo. En los rectángulos coincidirá con el vértice del ángulo recto. En los acutángulos, será un punto interior.

En este dibujo se observa como el ortocentro es exterior en un triángulo obtusángulo.

Recta de Euler

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En todo triángulo no equilátero, se cumple la siguiente propiedad: el ortocentro (H), el baricentro (G) y el circuncentro (O) están alineados. La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler.


Dibujo de la recta de Euler.

Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G) al circuncentro (O). O dicho de otro modo, el segmento HG es el doble que el GO.


Fórmula de la relación de las distancias entre centros en la recta de Euler.

En el caso de un triángulo equilátero, el baricentro, el ortocentro, el circuncentro y el incentro coinciden en un mismo punto interior, que está a la misma distancia de los tres vértices.

Esta distancia a los tres vértices de un triángulo equilátero es igual a Distancia 1 en la Recta de Euler desde un lado y, por tanto, Distancia 2 en la Recta de Euler al vértice, siendo h cualquiera de sus tres alturas.

Ejercicio

Dibujo del ejemplo 1 del ortocentro de un triángulo

Hallar las coordenadas del ortocentro H de un triángulo cuyos vértices tienen las coordenadas A(3,5), B(4,-1) y C(-4,1).

El ejercicio lo resolveremos analíticamente. Para ello tendremos que saber las ecuaciones de las alturas ha (que parte del vértice A) y hb (que parte del vértice B) y ver el punto de intersección de ambas alturas, que será H.

Dibujo del ejemplo 1 del punto del ortocentro de un triángulo

Hallaremos la ecuación de la recta que pasa por el lado BC, que es el opuesto al vértice A. Esta ecuación se obtiene sabiendo que pasa por los puntos B(4,-1) y C(-4,1). La ecuación general de la recta que pasa por dos puntos conocidos es:


Cálculo de la recta BC en el ejercicio 1 del ortocentro de un triángulo

La ecuación de la recta que contiene al lado BC y su pendiente m serán:


Cálculo de la recta que contiene BC en el ejercicio 1 del ortocentro de un triángulo

La pendiente de la recta que contiene a la altura ha, por ser perpendicular al lado BC, es la inversa y de signo contrario a la pendiente de la recta que contiene al lado:


Cálculo de la pendiente de la altura ha en el ejercicio 1 del ortocentro de un triángulo

Sabiendo que la altura ha pasa por el vértice A(3,5), podemos obtener la ecuación de su recta. La ecuación de una recta, conociendo un punto y su pendiente (pendiente inversa y de signo contrario a la hallada para BC, es decir, mp = 4):


Cálculo de la ecuación de la altura ha en el ejercicio 1 del ortocentro de un triángulo

Esta es la ecuación de ha.

Ahora procedemos del mismo modo para hallar la ecuación de la recta que contiene a la altura ha, es decir, a la que, partiendo del vértice B es perpendicular al lado AC.

En primer lugar, la pendiente de la recta de AC:


Cálculo de la pendiente de la recta AC en el ejercicio 1 del ortocentro de un triángulo

Y, ahora, la ecuación de la recta que contiene a la altura hb, es decir, la que partiendo del vértice B es perpendicular al lado AC. Su pendiente será, por lo tanto –7/4.


Cálculo de la ecuación de la altura hb en el ejercicio 1 del ortocentro de un triángulo

Esta es la ecuación de hb.

Resolvemos este sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Sus raíces serán las coordenadas de su intersección, es decir, del ortocentro H del triangulo ABC.


Cálculo del sistema de dos ecuaciones en el ejercicio 1 del ortocentro de un triángulo

Resolviendo este sistema de ecuaciones, tenemos que:


Cálculo de la solución del ortocentro en el ejercicio 1 del ortocentro de un triángulo

Tenemos que las coordenadas del ortocentro son H(2,26 , 2,04).


Dibujo de la solución del ejemplo 1 del ortocentro de un triángulo

2 Respuestas

  1. Hannia dice:

    es genial me ayuda mucho y es la mejor pagina que yo e visto
    porque tiene la explicación de sus partes y dice en que punto de la figura puede estar

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