Incentro de un triángulo

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El incentro de un triángulo (I) es la intersección de las tres bisectrices del triángulo.

Las bisectrices de un triángulo (B_a, B_b y B_c) son los tres segmentos que, dividiendo cada uno de sus tres ángulos en dos partes iguales, termina en el correspondiente lado opuesto.

El incentro de un triángulo (I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

El radio de la circunferencia inscrita (llamado también inradio) se halla mediante la fórmula:

El incentro de un triángulo se encuentra siempre en el interior de éste.

Relación del inradio con el área

El inradio está relacionado con el área del triángulo al que está inscrita su circunferencia mediante la relación:

Siendo s el semiperímetro.

En un triángulo rectángulo se cunple que el radio de la circunferencia inscrita es:

Siendo a y b los catetos y c la hipotenusa.

Teorema del incentro

En todo triángulo Δ ABC, su incentro I divide a cualquiera de sus tres bisectrices en dos segmentos proporcionales a la suma de los lados adyacentes al ángulo relativo de la bisectriz y al tercer lado.

Teorema de la bisectriz

En todo triángulo Δ ABC, la razón entre la longitud de dos lados adyacentes al vértice relativo a una de sus bisectrices es igual a la razón entre los segmentos correspondientes en que la bisectriz divide al lado opuesto.

La ecuación del teorema de la bisectriz es:

Al margen de este teorema, también se cumple que:

Coordenadas del incentro

Hay un procedimiento para hallar directamente las coordenadas del incentro I de un triángulo Δ ABC, conociendo las coordenadas de sus tres vértices y las longitudes de sus tres lados a, b y c:

A partir de estos datos, hallamos fácilmente las coordenadas del incentro I con estas fórmulas:

Recta de Euler

En todo triángulo no equilátero, se cumple la siguiente propiedad: el ortocentro (H), el baricentro (G) y el circuncentro (O) están alineados. La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler.

Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G) al circuncentro (O). O dicho de otro modo, el segmento HG es el doble que el GO.

En el caso de un triángulo equilátero, el baricentro, el ortocentro, el circuncentro y el incentro coinciden en un mismo punto interior, que está a la misma distancia de los tres vértices.

Esta distancia a los tres vértices de un triángulo equilátero es igual a desde un lado y, por tanto, al vértice, siendo h su altura.

El incentro (I) solamente se sitúa en la recta de Euler en el triangulo isósceles. En este tipo de triángulos, la recta de Euler coincide con en el eje de simetría.

En un triángulo isósceles está la recta de Euler con sus tres puntos (ortocentro, baricentro y circuncentro) y también el incentro.

En el caso del triángulo equilátero ya hemos dicho que H, G, O e I coinciden en un mismo punto.

Ejercicio 1

Hallar las coordenadas del incentro I de un triángulo cuyos vértices tienen las coordenadas A(3,5), B(4,-1) y C(-4,1).

El ejercicio lo resolveremos analíticamente. Para ello nos bastará con saber las ecuaciones de dos de las bisectrices. Por ejemplo B_a (recta bisectriz del ángulo interno del vértice A) y B_b (igualmente del ángulo interno del vértice B) Finalmente, hallar el punto de intersección de ambas bisectrices, que será el incentro I buscado.

Hallaremos las ecuaciones de las tres rectas que pasan por los tres lados del triángulo Δ ABC. Se obtiene cada una porque conocemos las coordenadas de dos puntos de cada recta, que son los tres vértices. La ecuación general de la recta que pasa por dos puntos conocidos es:

Obtendremos en primer lugar la ecuación de la recta que pasa por el lado AB:

De la misma manera, la ecuación de la recta que pasa por el lado BC.

Finalmente, la ecuación de la recta que pasa por el lado CA.

Un procedimiento para hallar la fórmula de una bisectriz de un triángulo, y que será el que seguiremos, se basa en lo siguiente:

Tenemos las ecuaciones de dos rectas (en este caso, las de dos lados) que se cruzan en un punto (en este caso, en el incentro I):

La ecuación de las bisectrices formadas a partir del ángulo de dicho par de rectas vienen dadas por la fórmula:

Para el triángulo del ejercicio, hemos hallado las tres ecuaciones, correspondientes a los tres lados del triángulo Δ ABC.

Ecuación del lado AB:

Ecuación del lado BC:

Ecuación del lado CA:

Con estas ecuaciones de los tres lados, vamos a obtener las ecuaciones de dos de las tres bisectrices interiores del triángulo del ejercicio, mediante la fórmula de la bisectriz anterior:

La bisectriz B_a que divide al ángulo del vértice A la calculamos a partir de las ecuaciones de los lados AB y CA:

Por otro lado, la bisectriz B_b que divide al ángulo del vértice B se calcula a partir de las ecuaciones de los lados AB y BC:

Para esta segunda ecuación, se toma de ± el signo (-) por tener la recta de la bisectriz B_b la pendiente negativa.

Pues bién, tenemos un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas correspondientes a las ecuaciones de las rectas de las bisectrices B_a y B_b:

Restando miembro a miembro de la primera ecuación la segunda ecuación, tenemos:

Sustituyendo el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones:

Hemos resuelto el ejercicio, averiguando las coordenadas del incentro, que son I(1,47 , 1,75).

Ejercicio 2

Hallar las coordenadas del incentro I del triángulo anterior Δ ABC. Conocemos las coordenadas de los vèrtices A(3,5), B(4,-1) y C(-4,1), como en el ejercicio 1, pero ahora sabemos también la longitud de los lados del triángulo: CB = a = 8,25, CA = b = 8,06 y AB = c = 6,08.

Con estos podríamos aplicar directamente las ecuaciones de las coordenadas del incentro expuestas:

Y obtendríamos las mismas coordenadas y abscisas del incentro I,del mismo triángulo Δ ABC que las obtenidas con el procedimiento del ejercicio 1, I(1,47 , 1,75).

Ejercicio 3

De un triángulo de lados a = 6 cm, b = 7 cm, c = 9 cm, calcular el radio r de la circunferencia inscrita, cuyo centro es el incentro, punto de intersección de las bisectrices.

Solución:

Obtenemos el semiperímetro s = (6 + 7 + 9) / 2 = 11 cm.

Aplicamos la fórmula del radio r de la circunferencia inscrita, dando valores, y el resultado es r = 1,91 cm.

Ejercicio 4

Sea un triángulo con los tres lados conocidos, siendo estos a = 4 cm, b = 3 cm y c = 2 cm.

a) ¿Cuales son sus bisectrices B_a, B_b y B_c?

b) ¿Cual será el radio de la circunferencia inscrita al triángulo trazada desde el incentro?

Soluciones:

a) Obtenemos que el semiperímetro es s = 4,5 cm, la mitad del perímetro. Ahora podemos calcular las tres bisectrices mediante las fórmulas conocidas:

b)

Aplicando la fórmula correspondiente, en función de los tres lados, el radio r de la circunferencia inscrita será: