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Incentro de un triángulo

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Dibujo del incentro de un triángulo como intersección de las tres bisectrices.

El incentro de un triángulo (I) es la intersección de las tres bisectrices del triángulo.

Las bisectrices de un triángulo (Ba, Bb y Bc) son los tres segmentos que, dividiendo cada uno de sus tres ángulos en dos partes iguales, termina en el correspondiente lado opuesto.

Dibujo de las tres bisectrices de un triángulo, el incentro y la circunferencia inscrita.

El incentro de un triángulo (I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

El radio de la circunferencia inscrita (llamado inradio) se halla mediante la fórmula:


Fórmula del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo con centro en el incentro.

El incentro de un triángulo se encuentra siempre en el interior de éste.

Teorema del incentro

Dibujo del teorema del incentro

En todo triángulo Δ ABC, su incentro I divide a cualquiera de sus tres bisectrices en dos segmentos proporcionales a la suma de los lados adyacentes al ángulo relativo de la bisectriz y al tercer lado.


Fórmula del teorema del incentro

Teorema de la bisectriz

Dibujo de la teorema de la bisectriz

En todo triángulo Δ ABC, la razón entre la longitud de dos lados adyacentes al vértice relativo a una de sus bisectrices es igual a la razón entre los segmentos correspondientes en que la bisectriz divide al lado opuesto.

La ecuación del teorema de la bisectriz es:


Fórmula del teorema de la bisectriz de un triángulo

Al margen de este teorema, también se cumple que:


Cálculos en el teorema de la bisectriz de un triángulo

Coordenadas del incentro

Hay un procedimiento para hallar directamente las coordenadas del incentro I de un triángulo Δ ABC, conociendo las coordenadas de sus tres vértices y las longitudes de sus tres lados a, b y c:


Dibujo de las coordenadas del incentro de un triángulo

A partir de estos datos, hallamos fácilmente las coordenadas del incentro I con estas fórmulas:


Fórmula de las coordenadas del incentro de un triángulo

Recta de Euler

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En todo triángulo no equilátero, se cumple la siguiente propiedad: el ortocentro (H), el baricentro (G) y el circuncentro (O) están alineados. La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler.


Dibujo de la recta de Euler.

Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G) al circuncentro (O). O dicho de otro modo, el segmento HG es el doble que el GO.


Fórmula de la relación de las distancias entre centros en la recta de Euler.

En el caso de un triángulo equilátero, el baricentro, el ortocentro, el circuncentro y el incentro coinciden en un mismo punto interior, que está a la misma distancia de los tres vértices.

Esta distancia a los tres vértices de un triángulo equilátero es igual a Distancia 1 en la Recta de Euler desde un lado y, por tanto, Distancia 2 en la Recta de Euler al vértice, siendo h su altura.

Dibujo de la recta de Euler en un triángulo isósceles

El incentro (I) solamente se sitúa en la recta de Euler en el triangulo isósceles. En este tipo de triángulos, la recta de Euler coincide con en el eje de simetría.

En un triángulo isósceles está la recta de Euler con sus tres puntos (ortocentro, baricentro y circuncentro) y también el incentro.

Dibujo de la recta de Euler en un triángulo equilátero

En el caso del triángulo equilátero ya hemos dicho que H, G, O e I coinciden en un mismo punto.

Ejercicio 1

Dibujo del ejercicio 1 en el incentro de un triángulo

Hallar las coordenadas del incentro I de un triángulo cuyos vértices tienen las coordenadas A(3,5), B(4,-1) y C(-4,1).

El ejercicio lo resolveremos analíticamente. Para ello nos bastará con saber las ecuaciones de dos de las bisectrices. Por ejemplo Ba (recta bisectriz del ángulo interno del vértice A) y Bb (igualmente del ángulo interno del vértice B) Finalmente, hallar el punto de intersección de ambas bisectrices, que será el incentro I buscado.


Dibujo del cálculo en el ejercicio 1 en el incentro de un triángulo

Hallaremos las ecuaciones de las tres rectas que pasan por los tres lados del triángulo Δ ABC. Se obtiene cada una porque conocemos las coordenadas de dos puntos de cada recta, que son los tres vértices. La ecuación general de la recta que pasa por dos puntos conocidos es:


Fórmula de la recta que pasa por dos puntos en el ejemplo 1 del incentro de un triángulo

Obtendremos en primer lugar la ecuación de la recta que pasa por el lado AB:


Cálculo de la recta AB en el ejemplo 1 del incentro de un triángulo

De la misma manera, la ecuación de la recta que pasa por el lado BC.


Cálculo de la recta BC en el ejemplo 1 del incentro de un triángulo

Finalmente, la ecuación de la recta que pasa por el lado CA.


Cálculo de la recta CA en el ejemplo 1 del incentro de un triángulo

Un procedimiento para hallar la fórmula de una bisectriz de un triángulo, y que será el que seguiremos, se basa en lo siguiente:

Tenemos las ecuaciones de dos rectas (en este caso, las de dos lados) que se cruzan en un punto (en este caso, en el incentro I):


Cálculo de las ecuaciones del incentro en el ejemplo 1 del incentro de un triángulo

La ecuación de las bisectrices formadas a partir del ángulo de dicho par de rectas vienen dadas por la fórmula:


Cálculo de la ecuación de las bisectrices en el ejemplo 1 del incentro de un triángulo

Para el triángulo del ejercicio, hemos hallado las tres ecuaciones, correspondientes a los tres lados del triángulo Δ ABC.

Ecuación del lado AB:


Cálculo de la ecuación del lado AB en el ejemplo 1 del incentro de un triángulo

Ecuación del lado BC:


Cálculo de la ecuación del lado BC en el ejemplo 1 del incentro de un triángulo

Ecuación del lado CA:


Cálculo de la ecuación del lado CA en el ejemplo 1 del incentro de un triángulo

Con estas ecuaciones de los tres lados, vamos a obtener las ecuaciones de dos de las tres bisectrices interiores del triángulo del ejercicio, mediante la fórmula de la bisectriz anterior:

La bisectriz Ba que divide al ángulo del vértice A la calculamos a partir de las ecuaciones de los lados AB y CA:


Cálculo de la ecuación de la bisectriz Ba en el ejemplo 1 del incentro de un triángulo

Por otro lado, la bisectriz Bb que divide al ángulo del vértice B se calcula a partir de las ecuaciones de los lados AB y BC:


Cálculo de la ecuación de la bisectriz Bb en el ejemplo 1 del incentro de un triángulo

Para esta segunda ecuación, se toma de ± el signo (-) por tener la recta de la bisectriz Bb la pendiente negativa.

Pues bién, tenemos un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas correspondientes a las ecuaciones de las rectas de las bisectrices Ba y b:


Cálculo de la solución 1 en el ejemplo 1 del incentro de un triángulo

Restando miembro a miembro de la primera ecuación la segunda ecuación, tenemos:


Cálculo de la solución 2 en el ejemplo 1 del incentro de un triángulo

Sustituyendo el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones:


Cálculo de la solución 3 en el ejemplo 1 del incentro de un triángulo

Hemos resuelto el ejercicio, averiguando las coordenadas del incentro, que son I(1,47 , 1,75).


Dibujo de la solución en el ejercicio 1 en el incentro de un triángulo

Ejercicio 2

Hallar las coordenadas del incentro I del triángulo anterior Δ ABC. Conocemos las coordenadas de los vèrtices A(3,5), B(4,-1) y C(-4,1), como en el ejercicio 1, pero ahora sabemos también la longitud de los lados del triángulo: CB = a = 8,25, CA = b = 8,06 y AB = c = 6,08.

Dibujo del ejercicio 2 en el incentro de un triángulo

Con estos podríamos aplicar directamente las ecuaciones de las coordenadas del incentro expuestas:


Cálculo de la solución en coordenadas en el ejemplo 2 del incentro de un triángulo

Y obtendríamos las mismas coordenadas y abcisas del incentro I,del mismo triángulo Δ ABC que las obtenidas con el procedimiento del ejercicio 1, I(1,47 , 1,75).

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