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Hipérbola

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Dibujo de la hipérbola

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia de distancias (d1 y d2) a dos puntos fijos llamados focos (F1 y F2) es constante.

El valor de esa constante es la distancia entre los vértices V1 y V2 de la hipérbola (2a).


Fórmula de la de la diferencia de distancias de los puntos de la hipérbola.

Dibujo de la hipérbola como producto de la intersección del cono con un plano.

La hipérbola también se puede definir como una cónica, siendo la intersección del cono con un plano que no pase por su vértice y que forme un ángulo con el eje del cono menor que el ángulo que forma con el eje generatriz g del cono.

Elementos de la hipérbola

Los elementos de la hipérbola son:

Dibujo de los focos, radio vector, eje focal, eje no transverso, centro y vértices de la hipérbola

  • Focos: son los dos puntos fijos (F1 y F2).
  • Radio vector: es la distancia R de un punto de la hipérbola (P) a cualquiera de los focos.
  • Eje focal: es el eje de simetría E que une a los dos focos. También se llama eje transverso.
  • Eje no transverso: es la mediatriz T del eje focal.
  • Centro: es el punto medio O de los dos focos. También se puede definir como la intersección del eje focal y el transverso.
  • Vértices: son los dos puntos de intersección del eje focal con la hipérbola (V1 y V2).

Dibujo de la distancia focal, semieje real, semieje imaginario, asíntotas, puntos interiores y puntos exteriores de la hipérbola

  • Distancia focal: es la distancia 2c entre focos. También se denota como F1F2.
  • Eje real: es es la distancia 2a entre vértices.
  • Eje imaginario: es la distancia 2b de los puntos B1 y B2. Los puntos B1 y B2 se generan como vemos en las relaciones entre semiejes.

    Así pues, existe una relación entre los semiejes y la distancia focal:


    Fórmula de la relación entre semiejes y la distancia focal de la hipérbola.

  • Asíntotas: son las líneas rectas (A1 y A2) que se aproximan a la hipérbola en el infinito.
  • Puntos interiores y exteriores: la hipérbola divide el plano en tres regiones. Dos regiones que contienen un foco cada una y otra región sin ningún foco. Los puntos contenidos en las regiones con un foco se llaman interiores (I) y los otros exteriores (Ex).
  • Tangentes de la hipérbola: sobre cada punto Pi de ambas ramas de la misma. Cada tangente es la bisectriz de los dos radios vectores del punto Pi.


Dibujo de una tangente de la hipérbola.

  • Circunferencia principal (CP): su radio r=a y su centro en O. Es el lugar geométrico de las proyecciones de un foco sobre las tangentes.
  • Directrices de la hipérbola: son dos rectas paralelas al eje transverso (D1 y D2). Su distancia a cada una es a/e (e es la excentricidad de la hipérbola). Pasan por las intersecciones de la circunferencia principal con las asíntotas (A1 y A2).


Dibujo de la circunferencia principal y las directrices de la hipérbola.

Hipérbola equilátera

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Dibujo de una hipérbola equilátera.

La hipérbola equilátera es la que tiene sus asíntotas (A1 y A2) perpendiculares entre sí, o, dicho de otra manera, cuando forman un ángulo con cada eje de 45º.

Relación entre semiejes de la hipérbola

Dibujo de la relación entre semiejes de la hipérbola.

Las semiejes de la hipérbola (a y b) se relacionan con la distancia focal (c) por la siguiente fórmula:


Fórmula de la relación entre semiejes y la distancia focal de la hipérbola.

Geométricamente podemos encontrar los puntos B1 y B2. Para ello, se trazan las rectas tangentes a la hipérbola en los vértices V1 y V2. Las dos tangentes cortarán en las asíntotas en cuatro puntos. Unimos los segmentos dos a dos siendo de longitud 2a y perpendicular al eje no transverso. Los dos puntos producto de la intersección de los dos segmentos y el eje no transverso serán B1 y B2. Siendo O=(o1,o2) el centro de la hipérbola, tendremos que B1=(o1,o2+b) y B2=(o1,o2-b).

De esta forma, se podría calcular el semieje imaginario (b) a partir del semieje real (a) y la semidistancia focal (c):


Fórmula del cálculo del semieje imaginario a partir del semieje real y la distancia focal de la hipérbola

Ecuación de la hipérbola

Dibujo de una hipérbola para el cálculo de su ecuación.

La ecuación de la hipérbola se puede expresar cuando su centro es O=(o1,o2) como:


Fórmula de la ecuación de la hipérbola

Si la hipérbola tiene su centro en el origen, O=(0,0), su ecuación es:


Fórmula de la ecuación de la hipérbola centrada en (0,0).

Además, los puntos de una hipérbola son los que cumplen la ecuación general de la hipérbola:


Fórmula de la ecuación general de la hipérbola

siendo A, B, C, D y E escalares (números reales) y necesariamente debe cumplir que los coeficientes de x2 e y2 (A y C) son no nulos y tienen diferente signo.

Asíntotas de la hipérbola

Dibujo las asíntotas de la hipérbola

Las asíntotas de la hipérbola (A1 y A2) son las dos líneas rectas que se aproximan cada vez más a la hipérbola pero no llegan a intersectarla. En el infinito las asíntotas estarán a una distancia 0 de ella.

Las ecuaciones de las asíntotas se pueden obtener si se conocen el semieje real (a) y el semieje imaginario (b).


Fórmula de las asíntotas de la hipérbola

Excentricidad de la hipérbola

Dibujo de los factores que intervienen en la excentricidad de la hipérbola

La excentricidad mide lo “abierta” que es la hipérbola. Puesto que c (semidistancia focal) es siempre mayor que a (semieje real), la excentricidad de la hipérbola es siempre mayor que la unidad.


Fórmula de la excentricidad de la hipérbola

La excentricidad es mayor o igual a 1. Si ésta es muy próxima a 1, la hipérbola tiende a una recta partida. Cuando la excentricidad crece, la hipérbola tiende a dos rectas paralelas al eje no transverso, o dicho de otra forma, las dos ramas de la hipérbola están más abiertas.


Dibujo de la comparación entre la hipérbola con excentricidad tendiendo a 1 y la que tiene mucha excentricidad

La excentricidad también se puede calcular a partir de los semiejes (a y b) mediante la fórmula:


Fórmula de la excentricidad de la hipérbola a partir de los ejes.

Construcción de la hipérbola por puntos

Veamos una forma sencilla para la construcción geométrica de la hipérbola, conociendo el eje real (V1V2=2a) y la distancia focal (F1F2=2c).

  • Dibujamos la línea del eje focal E, sobre la que marcamos los dos vértices V1 y V2 y su centro O, equidistante de ellos una distancia a. Marcamos también los dos focos, equidistantes del centro O una distancia c.
  • Ahora, sobre el mismo eje y a partir del segmento 2c hacia afuera, marcamos unos puntos cualquiera, supongamos que cuatro: P1, P2, P3, P4.
  • Con un compás, en cada uno de ellos tomamos dos radios, r=P1V1 y r’=P1V2.
  • Con esos radios y centros en los dos focos F1 y F2 trazamos arcos. Los cuatro puntos donde se cortan son puntos de la hipérbola.
  • Repetimos el proceso con P2, P3 y P4.
  • Si unimos los puntos obtenidos, apoyándonos sobre las asíntotas, obtendremos la hipérbola.
  • Vemos que cada uno de esos puntos cumple ri – ri’ = d1 – d2 = 2a, que, como se han trazado con centro en los dos focos, cumple la definición de la hipérbola.


Dibujo de la construcción de los puntos de la hipérbola.

11 Respuestas

  1. Pepito dice:

    no me gusta dislike

  2. zayde dice:

    COMETES GRAVE ERROR ¡

    HABLAS DEL AREA DE LA CIRCUNFERENCIA

    LS CIRCUNFERENCIA NO TIENE AREA ¡¡¡¡¡

    • Universo Formulas Respuestas dice:

      Es así como dices y es así como figura en Universofórmulas. En “área de la circunferencia” verás que pone:
      “La circunferencia no tiene área. La circunferencia es el perímetro del círculo. En todo caso, existe el área comprendida dentro de la circunferencia, o lo que es lo mismo, el área del círculo. La fórmula de ésta es: etc…”
      Pero gracias de todas maneras

  3. Hilda Leticia Ortiz Cisneros dice:

    las imágenes se entienden bastante bien, las formulas son sencillas . Se que sólo son formulas, pero si pudieran incluir aunque sea sólo un ejemplo

    • Universo Formulas Respuestas dice:

      Hilda Leticia, tienes ejemplos entrando en los subapartados: ecuación de la hipérbola, sus asíntotas y la excentricidad.
      Pese a ello, gracias por la aportación. Próximamente implementaremos la página.

  4. Monserrat MHI dice:

    Muchas gracias
    Me encantaría que por favor explicaran también los tipos de hipérbola :3

  5. Pija dice:

    Muy malo me saque un 1 PUTOSSSSSSSSSSSSSSSS, voy a quemarle el rancho a cada uno manga de gosheauuu.

  6. jose dice:

    muy buena explicacion pero no entendi un co.. jajajaja

  7. Gilberto ospina dice:

    Me pares mu buena la explicacion ,aunque le falta la demostracion delvalor dellddo recto de la hipebola. le agradesrialo espseran.

  8. marcos dice:

    gracia amijo pero casi no entiendo naa

  9. maria adilene alba gutierrez dice:

    ta chidaaaaaa esta parte i,magada

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