Esfera

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La esfera (o superficie esférica) es el sólido de revolución generado por un semicírculo al girar sobre su diámetro.

O lo que es lo mismo, es el conjunto de puntos del espacio tridimensional que equidistan de un punto definido como el centro de la esfera.

Área de la esfera

El área de la esfera, es decir, la superficie que envuelve a este sólido de revolución, viene determinado por su radio (r), y se calcula mediante la siguiente fórmula:

Dibujo del área de la esfera


Fórmula del área de la esfera

¿Cómo se obtiene esta fórmula?


Volumen de la esfera

Dibujo del volumen de la esfera

El volumen de la esfera se calcula en función de su radio (r). Su fórmula es:


Fórmula del volumen de la esfera

¿Cómo se obtiene esta fórmula?


¿Sabías que la esfera es el sólido que con menos superficie tiene más volumen?

Elementos de una esfera

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Dibujo de los elementos de la esfera

Los elementos de una esfera son los siguientos:

  • Centro: es el punto del que equidistan todos los puntos de la superficie de la esfera (O).
  • Radio: distancia desde el centro de la esfera a cualquiera de sus puntos (r).
  • Cuerda: segmento que une dos puntos cualquiera de la superficie esférica.
  • Diámetro: Una cuerda que pasa por el centro de la esfera (D). Su longitud es dos veces el radio.
  • Eje: línea sobre la que gira el semicírculo generador (o sobre la que gira la semicircunferencia generadora, desde el punto de vista de la superficie esférica).
  • Polos: Los dos puntos en que el eje pasa por la superficie esférica (P1 y P2).
  • Meridianos: circunferencias en la superficie esférica resultantes del corte de cualquier plano que pase por el eje. De otra manera, planos que pasan por los dos polos.
  • Paralelos: circunferencias resultantes en la superficie esférica del corte de los planos perpendiculares al eje.
  • Ecuador: el paralelo de máxima longitud. Corta al eje en el centro de la esfera.

Particiones de la esfera

Casquete esférico de una base

Los casquetes esféricos son las dos partes de la superficie de la esfera resultantes de su intersección con un plano son casquetes esféricos. Si el plano no pasa por el centro se generará un casquete mayor y uno menor.

El círculo resultante, de radio a, de la intersección del plano con la esfera sería la base del casquete esférico.


Dibujo del casquete esférico de una base y de dos bases

Sea h la altura del casquete. El área del casquete esférico es:

Áreac1b = 2πrh = π (a2 + h2)

Casquete esférico de dos bases o zona esférica

El casquete esférico de dos bases (o zona esférica) es la superficie de una esfera comprendida entre dos planos paralelos que la cortan. Se denomina de las dos formas: o casquete esférico de dos bases o zona esférica.

El área de la zona esférica (donde no se incluyen las tapas circulares, o bases, superior e inferior) es:

Áreac2b = 2πrh1

Segmento esférico de una base

El segmento esférico de una base es el cuerpo sólido comprendido entre un casquete esférico y su base.

El volumen de un segmento esférico de una base viene determinado por la fórmula:


Fórmula del volumen del segmento esferico de una base

Segmento esférico

Es el cuerpo sólido formado por la parte de la esfera comprendida entre dos planos paralelos que la cortan. O, también, es la parte de la esfera encerrada entre un casquete esférico de dos bases (o zona esférica) y esas dos bases.

Area del segmento esférico

Aquí, aparte del área de la zona esférica se incluyen las áreas de las dos bases:


Fórmula del área del segmento esferico

Volumen del segmento esférico:


Fórmula del volumen del segmento esferico

Semiesfera o hemisferio

La semiesfera (o hemisferio) es cuando un plano pasa por el centro de una esfera y la divide en dos partes iguales.

Sector esférico

El sector esférico es la parte de la esfera que se genera al girar un sector circular alrededor de un eje que pasa por el centro de la esfera.

Consideraremos dos casos:

  1. El eje de rotación coincide con un radio exterior del sector circular. El sector esférico resultante está formado por la superficie lateral de un cono link recto con vértice en el centro de la esfera y cerrada por un casquete esférico del mismo radio que el de la base del cono.


    Dibujo del sector esférico largo

  2. El eje de rotación pasa por el vértice O, pero no pasa por dentro del sector circular. Al igual que en el caso anterior, llamamos h a la proyección de la línea curva del sectorcircular sobre el eje de rotación.


    Dibujo del sector esférico completo

Volumen del sector esférico

Tanto en el primer como en el segundo caso, la fórmula del volumen del sector esférico es la misma:


Fórmula del volumen del sector esferico

Huso esférico

El huso esférico es la parte de la superficie esférica comprendida entre dos planos que se cortan en un eje de la misma.


Dibujo del huso esférico

Área del huso esférico

El área del huso esférico, si el ángulo que forman los dos planos es α, es:


Fórmula del área del huso esferico

Cuña esférica

La cuña esférica es la parte de la esfera comprendida entre dos planos que se cortan en un eje de la misma y su huso esférico correspondiente.


Dibujo de la cuña esférica

Volumen de la cuña esférica

El volumen de la cuña esférica viene determinado por la siguiente fórmula:


Fórmula del volumen de la cuña esférica

Corona esférica

La corona esférica es el sólido de revolución generado por media corona circular, al girar 360° sobre el diámetro exterior. O bien, es el sólido comprendido entre dos esferas concéntricas de radios r1 y r2. Se ha de cumplir que: r1 > r2.


Dibujo de la corona esférica

Volumen de la corona esférica

El volumen de la corona esférica será la diferencia de los volúmenes de la exterior menos el de la interior:


Fórmula del volumen de la corona esférica

Ejercicio

Dibujo de la distancia entre dos puntos de un paralelo de la esfera

En una esfera de radio 4, calcular la longitud del paralelo cuyo plano forma 30° con cualquier radio de la esfera que pase por él.

¿Qué distancia separa los puntos A y B de dicho paralelo, si sus radios forman un ángulo de 45°°?

Solución:

El radio del paralelo será, a = r sen 30 ° = 4 · 0,5 = 2

La distancia entre A y B la obtendremos mediante una regla de tres:


Ejemplo del cálculo de la distancia entre puntos de un paralelo de la esfera


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