Elementos notables de un triángulo

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Los triángulos tienen unos segmentos y puntos que determinan una serie de elementos importantes.

Altura de un triángulo

Dibujo de las tres alturas de un triángulo y del ortocentro.

La altura de un triángulo es el segmento perpendicular a un lado que va desde el vértice opuesto a este lado (o a su prolongación). También puede entenderse como la distancia de un lado al vértice opuesto.

Hay tres alturas (ha, hb y hc), según a que lado está asociada dicha altura. A partir de la fórmula de Herón, conociendo los tres lados (a, b y c), se pueden hallar las tres alturas:


Fórmula de las tres alturas del triángulo.

Dibujo de las tres alturas de un triángulo y del ortocentro.

Las tres alturas del triángulo (o sus prolongaciones) se cortan en un punto llamado ortocentro (H).

Las alturas podrían estar en el exterior del triángulo, en el caso de que sea un triángulo obtusángulo. El ortocentro también será exterior en los triángulos obtusángulos. En los rectángulos coincidirá con el vértice del ángulo recto. En los acutángulos, será un punto interior.


Mediana de un triángulo

Dibujo de las tres medianas de un triángulo y del baricentro.

La mediana de un triángulo es el segmento que une uno de sus vértices con el centro del costado opuesto.

Hay tres medianas (ma, mb y mc), según de que vértice parta ésta. La longitud de las medianas se calcula a partir del teorema de la mediana:


Fórmula de las tres medianas del triángulo.

Las tres medianas de un triángulo confluyen en un punto llamado baricentro o centroide (G).

En cualquier mediana, la distancia entre el baricentro (o centroide) G y el centro de su lado correspondiente es 1/3 de la longitud de dicha mediana.

En física, el baricentro (G) sería el centro de gravedad del triángulo.

Mediatriz de un triángulo

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Dibujo de las tres mediatrices de un triángulo y del circuncentro.

La mediatriz de un triángulo es la mediatriz asociada a uno de sus lados, es decir, la recta perpendicular a dicho lado que pasa por el punto medio (o centro) de éste.

La mediatriz de un segmento es una recta, lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos de dicho segmento.

Dibujo de las tres mediatrices de un triángulo, el circuncentro y la circunferencia circunscrita.

Existen tres mediatrices en un triángulo (Ma, Mb y Mc), según el lado del triángulo al que se refieren (a, b o c).

Las tres mediatrices de un triángulo confluyen en un punto llamado circuncentro.

El circuncentro (O) es el centro de la circunferencia circunscrita en el triángulo, ya que equidista de sus tres vértices.

El radio (R) de la circunferencia circunscrita se halla mediante la fórmula:


Fórmula del radio de la circunferencia circunscrita en el triángulo.

Dibujo de las circunferencias circunscrita e inscrita para la relación entre sus radios.

La relación entre el radio R del circuncentro O (mediante las mediatrices) y el radio r del incentro I (mediante las bisectrices) es:


Fórmula de la relación entre los radios de la circunferencia circunscrita e inscrita en un triángulo.


Bisectriz de un triángulo

Dibujo de las tres bisectrices de un triángulo y del incentro.

La bisectriz de un triángulo es el segmento que, dividiendo uno de sus tres ángulos en dos partes iguales, termina en el correspondiente lado opuesto.

Existen tres bisectrices (Ba, Bb y Bc), según el ángulo en el que empieza. La longitud de las bisectrices se calculan con la fórmula:


Fórmula de las tres bisectrices del triángulo.

Las tres bisectrices de un triángulo confluyen en un punto llamado incentro (I). Éste siempre es un punto interior de cualquier triángulo.

Dibujo de las tres bisectrices de un triángulo, el incentro y la circunferencia inscrita.

El incentro (I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

El radio de la circunferencia inscrita se halla mediante la fórmula:


Fórmula del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo.

Resumen

Los elementos notables los resumimos en esta lista:


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