Elementos notables de un triángulo (o cevianas)

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Los triángulos tienen unos segmentos (también llamados cevianas) y puntos que determinan una serie de elementos importantes.

Altura de un triángulo

La altura de un triángulo es el segmento perpendicular a un lado que va desde el vértice opuesto a este lado (o a su prolongación). También puede entenderse como la distancia de un lado al vértice opuesto.

Hay tres alturas (h_a, h_b y h_c), según a que lado está asociada dicha altura. A partir de la fórmula de Herón, conociendo los tres lados (a, b y c), se pueden hallar las tres alturas:

Las tres alturas del triángulo (o sus prolongaciones) se cortan en un punto llamado ortocentro (H).

Las alturas podrían estar en el exterior del triángulo, en el caso de que sea un triángulo obtusángulo. El ortocentro también será exterior en los triángulos obtusángulos. En los rectángulos coincidirá con el vértice del ángulo recto. En los acutángulos, será un punto interior.

Mediana de un triángulo

La mediana de un triángulo es el segmento que une uno de sus vértices con el centro del lado opuesto.

Hay tres medianas (m_a, m_b y m_c), según de que vértice parta ésta. La longitud de las medianas se calcula a partir del teorema de la mediana:

Las tres medianas de un triángulo confluyen en un punto llamado baricentro o centroide (G).

En cualquier mediana, la distancia entre el baricentro (o centroide) G y el centro de su lado correspondiente es 1/3 de la longitud de dicha mediana.

En física, el baricentro (G) sería el centro de gravedad del triángulo.

Mediatriz de un triángulo

La mediatriz de un triángulo es la mediatriz asociada a uno de sus lados, es decir, la recta perpendicular a dicho lado que pasa por el punto medio (o centro) de éste.

La mediatriz de un segmento es una recta, lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos de dicho segmento.

Existen tres mediatrices en un triángulo (M_a, M_b y M_c), según el lado del triángulo al que se refieren (a, b o c).

Las tres mediatrices de un triángulo confluyen en un punto llamado circuncentro.

El circuncentro (O) es el centro de la circunferencia circunscrita en el triángulo, ya que equidista de sus tres vértices.

El radio (R) de la circunferencia circunscrita se halla mediante la fórmula:

La relación entre el radio R del circuncentro O (mediante las mediatrices) y el radio r del incentro I (mediante las bisectrices) es:

Bisectriz de un triángulo

La bisectriz de un triángulo es el segmento que, dividiendo uno de sus tres ángulos en dos partes iguales, termina en el correspondiente lado opuesto.

Existen tres bisectrices (B_a, B_b y B_c), según el ángulo en el que empieza. La longitud de las bisectrices se calculan con la fórmula:

Las tres bisectrices de un triángulo confluyen en un punto llamado incentro (I). Éste siempre es un punto interior de cualquier triángulo.

El incentro (I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

El radio de la circunferencia inscrita se halla mediante la fórmula:

Resumen

Los elementos notables los resumimos en esta lista:

• Medianas………….. Baricentro (G)
• Alturas……………… Ortocentro (H)
• Mediatrices……….. Circuncentro (O)
• Bisectrices…………. Incentro (I)

Ejercicios

Ejercicio 1

Sea un triángulo con los tres lados conocidos, siendo estos a = 4,5 cm, b = 4 cm y c = 3 cm.

¿Cuales serán sus alturas h_a, h_b y h_c?

Primero calcularemos el semiperímetro (s).

Ahora podemos calcular las tres alturas, aplicando las fórmulas correspondientes.

Y las tres alturas serán h_a:

h_b:

Y h_c:

Ejercicio 2

Sea un triángulo de lados conocidos, siendo estos a=2 cm, b=4 cm y c=3 cm.

¿Cuales son sus medianas m_a, m_b y m_c?

Mediante la fórmula anterior se obtiene que las medianas son m_a=3,39 cm, m_b=1,58 cm y m_c=2,78 cm.

Ejercicio 3

a) Hallar el radio R de la circunferencia circunscrita a un triángulo de lados a = 9 cm, b = 7 cm y c = 6 cm.

b) Calcular también el radio r de la circunferencia inscrita, cuyo centro es el incentro, punto de intersección de las bisectrices.

Soluciones:

a)

Obtenemos el semiperímetro s

Aplicamos la fórmula del radio R de la circunferencia circunscrita, dando valores:

Y el resultado es R = 4,50 cm.

b) Podríamos emplear la fórmula del radio r de la circunferencia inscrita:

Pero usaremos la fórmula que relaciona R con r, sabiendo los tres lados, ya que llegaríamos al mismo resultado:

El radio r de la circunferencia inscrita será de 1,91 cm.

Ejercicio 4

Sea un triángulo con los tres lados conocidos, siendo estos a = 4 cm, b = 3 cm y c = 2 cm.

a) ¿Cuales son sus bisectrices B_a, B_b y B_c?

b) ¿Cual será el radio de la circunferencia inscrita al triángulo trazada desde el incentro?

Soluciones:

a) Obtenemos que el semiperímetro es s = 4,5 cm, la mitad del perímetro. Ahora podemos calcular las tres bisectrices mediante las fórmulas conocidas:

b) Aplicando la fórmula correspondiente, en función de los tres lados, el radio r de la circunferencia inscrita será: