Elementos de una elipse

Los elementos de una elipse más importantes son:

• Focos: son los puntos fijos F₁ y F₂ que generan la elipse. La suma de las dos distancias de cualquier punto de la elipse a los dos focos (d₁ y d₂) es constante.
• Distancia focal (2c): distancia entre los dos focos. F₁F₂=2c. c es la semidistancia focal.
• Centro: es el punto medio de los dos focos (O).
• Semieje mayor: longitud del segmento OI o OK (a). La longitud es mayor a la del semieje menor. La suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos es constante y ésta es igual a dos veces el semieje mayor:
  

  (La constante de la elipse es precisamente la longitud 2a).

• Eje focal o principal: es la recta que pasa por los focos, el centro y también por dos vértices. Es uno de los ejes de simetría de la elipse. En él está el segmento 2a.



• Semieje menor: longitud del segmento OJ o OL (b). Ambos semiejes cumplen que:
  

  Como vemos en el dibujo, esta relación cumple el teorema de Pitágoras.

• Eje normal o secundario: es la recta que pasa por el centro de la elipse y es perpendicular al eje focal. Es el segundo de los ejes de simetría de la elipse. En él está el segmento 2b. El eje principal y el eje normal son los dos ejes de simetría de la elipse.
  
• Radios vectores: los radios vectores de cualquier punto de la elipse (P=(x,y)) son los dos segmentos que lo unen con los dos focos. PF₁ y PF₂ (en el dibujo, d₁ y d₂).
• Vértices: son los puntos resultantes de la intersección de la elipse con la recta que pasa por los focos (eje focal), F₁F₂, y su perpendicular que pasa por el centro (eje normal). Es decir, son los puntos I, J, K y L
• Lado recto (LR): es el segmento perpendicular al eje principal que, pasando por un foco, une dos puntos de la elipse. Su longitud es:
  

Ejercicio

Las ecuaciones paramétricas de una elipse son:

Hallar:

a) Los dos semiejes a y b.

b) Las coordenadas del centro de la elipse O (o₁, o₂).

c) La distancia focal 2c y las coordenadas de los focos F₁ y F₂.

d) Las coordenadas de los cuatro vértices I, J, K y L.

e) La longitud del lado recto LR.

Solución:

Transformamos las ecuaciones paramétricas para llegar a la ordinaria:

Este último paso mediante la identidad fundamental de la trigonometría. Y llegamos a la formulación canónica u ordinaria de una elipse horizontal con el centro desplazado del origen de coordenadas:

a) A la vista de esta ecuación, los semiejes son:

b) Las coordenadas del centro de la elipse:

c) La distancia focal 2c y las coordenadas de los focos F₁ y F₂ se obtienen, la primera a través del teorema de Pitágoras:

Las coordenadas de los focos se obtienen, sabiendo que estos están sobre el eje principal o focal, de ecuación y = -7, y conocemos el semieje a = 10:

d) Las coordenadas de los cuatro vértices I, J, K y L se obtienen sumando o restando el largo de los semiejes a y b de las coordenadas del centro de la elipse, como se ve en la figura:

c) La longitud del lado recto LR.

El mismo resultado se puede obtener de la diferencia de las ordenadas de los extremos del lado recto, en su intersección con la elipse. Estas ordenadas se pueden obtener de la ecuación de la elipse, dándole a la x el valor de la abscisa de uno de los focos, por ejemplo del F₂, con abscisa 20.

En la imagen:

El lado recto es de 7,2.