Cono

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Superficie cónica de revolución

Una superficie cónica de revolución se engendra cuando, a partir de dos rectas que se cortan, una de ellas gira alrededor de la otra que permanece fija. La recta que gira es la generatriz de la superficie cónica y la fija es su eje.


Dibujo de un cono generado como superficie de revolución

Cono, un sólido

Si cortamos una superficie cónica con un plano tenemos un cono. Si el plano es perpendicular al eje, tenemos un cono recto.

El cono recto (o cono de revolución, o cono circular recto) es el sólido de revolución formado al hacer girar un triángulo rectángulo (superficie generatriz Sg) alrededor de uno de sus catetos. Llamamos base al círculo inferior del cono y g a la hipotenusa que confluye en el vértice.

Elementos del cono

Los elementos del cono son:

  • Base (B): es la cara plana inferior del cono, que en el caso del cono circular recto, es un círculo cuyo radio es uno de los catetos del triángulo generador.
  • Altura (h): distancia del plano de la base al vértice de la pirámide.
  • Vértice (V): punto donde confluyen las infinitas generatrices.
  • Generatriz (g): Línea que al girar sobre el eje del cono engendra la superficie cónica de revolución.
  • Superficie generatriz (Sg):en el cono recto de revolución,es el triángulo rectángulo que lo engendra al girar 360° sobre uno de sus catetos, que es el eje de rotación y, que es a su vez, la altura del cono. El otro cateto es el radio de la base. La hipotenusa la generatriz (g).


Dibujo de los elementos de un cono

Área del cono

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Dibujo del área de un cono como suma de su círculo y superficie lateral

El área de la base del cono es \(A_{b} = 2 \cdot \pi \cdot r^{2}\) y la de la superficie lateral \(A_{L}= \frac{2 \cdot \pi \cdot r \cdot g}{2} = \pi \cdot r \cdot g\).

Por lo tanto, la fórmula del área total del cono será:


Fórmula del área del cono

Tipos de cono

Los conos pueden ser:

  • Conos rectos (o conos de revolución): La superficie curva es una superficie cónica de revolución.


    Dibujo de un cono recto como superficie de revolución.

  • Cono oblicuo de base elíptica: La altura no coincide sobre el eje. El eje no es perpendicular a la base. Si su cara lateral es una superficie cónica de revolución, su sección recta es un círculo.
  • Cono oblicuo de base circular: La altura tampoco coincide con el eje. La sección recta al eje es una elipse.


    Dibujo de dos conos oblicuos, uno de base circular y otro de base elíptica

Volumen del cono

La fórmula general del volumen del cono es:


Fórmula general del volumen del cono

Que es la misma fórmula que la del volumen de la pirámide.

Dibujo del volumen del cono

En el caso del cono de base circular, tanto recto como oblicuo, su volumen será:


Fórmula del volumen del cono de base circular

(Ver el principio de Cavalieri).

Dibujo del volumen del cono de base elíptica

En cambio, si el cono es oblicuo de base elíptica, para hallar su volumen, procederemos de la siguiente manera.

Como la base es una elipse, para calcularla usaremos la fórmula del área de la elipse, siendo \(A_{b}=\pi \cdot a \cdot b \).

Luego el volumen del cono oblicuo de base elíptica será:


Fórmula del volumen del cono de base elíptica

¿Sabías que hay una relación 1, 2, 3, entre el volumen del cono, el volumen de la esfera y el volumen del cilindro, siempre que los tres sólidos tengan el mismo radio r de la base, o mismo radio, y la misma altura h = 2r?


Dibujo de la relación entre los volúmenes del cono, esfera y cilindro

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