El circuncentro de un triángulo (O) es el punto donde intersectan las tres mediatrices del triángulo.
Las mediatrices de un triángulo (Ma, Mb y Mc) son las mediatrices asociadas a cada uno de sus lados, es decir, las rectas perpendiculares a cada lado que pasa por el punto medio (o centro) de éste.
El circuncentro (O) es el centro de la circunferencia circunscrita en el triángulo, ya que equidista de sus tres vértices.
El radio (R) de la circunferencia circunscrita se puede hallar a partir de los tres lados y el semiperímetro del triángulo:
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Nota. Cedida por el autor: José María Pareja Marcano. Químico. Sevilla (España).
¿Dónde está el circuncentro localizado?
El circuncentro puede estar en el exterior del triángulo, en el caso de que sea un triángulo obtusángulo.
En los triángulos rectángulos el circuncentro se encontrará en el punto central de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo de 90º).
Puedes ver el segundo teorema de Tales.
En los acutángulos, será un punto interior.
Recta de Euler
En todo triángulo no equilátero, se cumple la siguiente propiedad: el ortocentro (H), el baricentro (G) y el circuncentro (O) están alineados. La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler.
Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G) al circuncentro (O). O dicho de otro modo, el segmento HG es el doble que el GO.
En el caso de un triángulo equilátero, el baricentro, el ortocentro, el circuncentro y el incentro coinciden en un mismo punto interior, que está a la misma distancia de los tres vértices.
Esta distancia a los tres vértices de un triángulo equilátero es igual a 
desde un lado y, por tanto, 
al vértice, siendo h su altura.
Ejercicio 1
Hallar el radio R de la circunferencia circunscrita a un triángulo de lados a = 9 cm, b = 7 cm y c = 6 cm.
Solución
Obtenemos el semiperímetro s:
Aplicamos la fórmula del radio R de la circunferencia circunscrita, dando valores:
Y el resultado es R = 4,50 cm.
Ejercicio 2
Hallar las coordenadas del circuncentro de un triángulo O cuyos vértices tienen las coordenadas A(3,5), B(4,-1) y C(-4,1).
El ejercicio lo resolveremos analíticamente. Para ello tendremos que saber las ecuaciones de dos de las mediatrices. Por ejemplo Ma (recta perpendicular al lado a en su punto medio r entre los vértices B y C) y Mb (igualmente en el lado b en su punto medio s entre los vértices A y C). Finalmente, hallar el punto de intersección de ambas mediatrices, que será el circuncentro O.
Hallaremos la ecuación de la recta que pasa por el lado a. Esta ecuación se obtiene sabiendo que pasa por los puntos B(4,-1) y C(-4,1). La ecuación general de la recta que pasa por dos puntos conocidos es:
La ecuación de la recta que contiene al lado BC y su pendiente m serán:
La fórmula del punto medio r es:
Ahora hallaremos las coordenadas del punto medio r entre los vértices B y C.
La pendiente de la recta mediatriz que pasa por r, por ser perpendicular al lado a, es la inversa y de signo contrario a la pendiente de la recta hallada que contiene al lado a:
Sabiendo que la mediatriz Ma pasa por el punto medio ry sabemos su pendiente, que es igual a 4, podemos obtener la ecuación de su recta.
Esta es la ecuación de la mediatriz Ma.
Ahora procedemos del mismo modo para hallar la ecuación de la recta que contiene a la mediatriz Mb, es decir, la que pasa por el punto medio s y es perpendicular al lado b comprendido entre los vértices A y C.
En primer lugar, la pendiente de la recta del lado b:
Ahora hallaremos las coordenadas del punto medio s entre los vértices B y C.
La ecuación de la recta que contiene a la mediatriz Mb, es decir, la que partiendo del punto medio s es perpendicular al lado AC. La pendiente de esta recta será, por lo tanto –7/4. Con la pendiente de una recta y uno de sus puntos podemos hallar la ecuación:
Tenemos las ecuaciones de dos de las mediatrices del triángulo.
Se resuelve este sistema de dos ecuaciones con dos incògnites por el método de sustitución, el más idóneo, dada la forma de la primera ecuación:
Las raices de este sistema de ecuaciones son: x = 0,37, y = 1,48. Son las coordenadas buscadas del circuncentro O.
El circuncentro O es el centro de la circunferencia circunscrita:
¿Me podrías ayudar con lo siguiente?
Encuentra las coordenadas dentro del circuncentro del triángulo cuyos vértices son los puntos A(-2,-3), B(6,1) y C(4,5)
Lo debo realizar analíticamente, y comprobarlo con la aplicación GeoGebra
De antemano muchas gracias
Halla los puntos medios de dos lados (p.e. AB y BC) promediando las coordenadas. Serán (2,1) y (5, 3) respectivamente.
Halla las pendientes de los dos lados, a partir de las coordenadas de los extremos. Fórmula:
m =(y2 – y1) / (x2 – x1)
Las dos mediatrices pasan por esos dos puntos medios. Las pendientes de esas dos mediatrices son las inversas negativas a las pendientes de los dos lados que cortan (son perpendiculares). Halla la ecuación de las dos mediatrices. Sabes sus pendientes y un punto (el punto medio del lado correspondiente). La forma de hallarlas es:
y – y0 = m * (x – x0)
La intersección de esas dos rectas mediatrices (sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas).
Las raíces de este sistema de ecuaciones son las coordenadas que buscas. O (1, 1)
En esta misma página tienes resuelto analíticamente en el ejercicio 2 un problema idéntico
Mal resuelto. La respuesta correcta es x=0.3696, y=1.4783, redondeado a 4 cifras decimales. Propongo el siguiente problema: vértices en A(1, 6), B(10, 8), C(7, -1).
Las ecuaciones de las mediatrices son: 18x+4y-127=0, x+3y-19=0, 12x-14y-13=0.
Las coordenadas del circuncentro están en (6.1, 4.3). Estos valores son exactos sin redondear, de modo que se puede comprobar perfectamente en papel milimétrico.
En efecto, Enrique. Hay un error en el cálculo de la ecuación de la mediatriz Mb. Las coordenadas del circuncentro son (0,37, 1,48) como indicas. Se corregirá y gracias por tu aportación.
Y, sí, las coordenadas del circuncentro del triángulo que propones son (6,1, 4,3).
Me ayudaste con mi trabajo de mate, gracias 😉 posdata es el mejor citio web chucha
Esta buenisima la info!!
Genial! Fantástica la información
deberian dejar un ejemplo y lo demas esta bien
es muy bueno para mi tarea de geometria
esta muy bueno pero falta ejemplo de com se rsuelve+
me cirbe para todas las tareas fabuloso
Estaría mucho más completa la información si anexarán un ejemplo de como se resuelve