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Circuncentro de un triángulo

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Dibujo del circuncentro de un triángulo como intersección de las tres mediatrices.

El circuncentro de un triángulo (O) es el punto donde intersectan las tres mediatrices del triángulo.

Las mediatrices de un triángulo (Ma, Mb y Mc) son las mediatrices asociadas a cada uno de sus lados, es decir, las rectas perpendiculares a cada lado que pasa por el punto medio (o centro) de éste.

Dibujo del circuncentro como centro de la circunferencia circunscrita de un triángulo.

El circuncentro (O) es el centro de la circunferencia circunscrita en el triángulo, ya que equidista de sus tres vértices.

El radio (R) de la circunferencia circunscrita se puede hallar a partir de los tres lados y el semiperímetro del triángulo:


Fórmula del radio de la circunferencia circunscrita en el triángulo con centro en el circuncentro.

Dibujo del circuncentro exterior al triángulo y la circunferencia circunscrita.

El circuncentro puede estar en el exterior del triángulo, en el caso de que sea un triángulo obtusángulo.

En los triángulos rectángulos el circuncentro se encontrará en el punto central de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo de 90º).


Dibujo del circuncentro en un triángulo rectángulo

Ver el segundo teorema de Tales.

En los acutángulos, será un punto interior.

Recta de Euler

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En todo triángulo no equilátero, se cumple la siguiente propiedad: el ortocentro (H), el baricentro (G) y el circuncentro (O) están alineados. La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler.


Dibujo de la recta de Euler.

Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G) al circuncentro (O). O dicho de otro modo, el segmento HG es el doble que el GO.


Fórmula de la relación de las distancias entre centros en la recta de Euler.

En el caso de un triángulo equilátero, el baricentro, el ortocentro, el circuncentro y el incentro coinciden en un mismo punto interior, que está a la misma distancia de los tres vértices.

Esta distancia a los tres vértices de un triángulo equilátero es igual a Distancia 1 en la Recta de Euler desde un lado y, por tanto, Distancia 2 en la Recta de Euler al vértice, siendo h su altura.

Ejercicio

Hallar las coordenadas del circuncentro de un triángulo O cuyos vértices tienen las coordenadas A(3,5), B(4,-1) y C(-4,1).


Dibujo del ejercicio del circuncentro de un triángulo

El ejercicio lo resolveremos analíticamente. Para ello tendremos que saber las ecuaciones de dos de las mediatrices. Por ejemplo Ma (recta perpendicular al lado a en su punto medio r entre los vértices B y C) y Mb (igualmente en el lado b en su punto medio s entre los vértices A y C). Finalmente, hallar el punto de intersección de ambas mediatrices, que será el circuncentro O.


Dibujo del circuncentro en el ejercicio del circuncentro de un triángulo

Hallaremos la ecuación de la recta que pasa por el lado a. Esta ecuación se obtiene sabiendo que pasa por los puntos B(4,-1) y C(-4,1). La ecuación general de la recta que pasa por dos puntos conocidos es:


Cálculo de la recta que pasa por dos puntos en el ejercicio 1 del circuncentro del triángulo

La ecuación de la recta que contiene al lado BC y su pendiente m serán:


Cálculo de la recta que contiene al lado BC en el ejercicio 1 del circuncentro del triángulo

Ahora hallaremos las coordenadas del punto medio r entre los vértices B y C.


Cálculo del punto medio r en el ejercicio 1 del circuncentro del triángulo

La pendiente de la recta mediatriz que pasa por r, por ser perpendicular al lado a, es la inversa y de signo contrario a la pendiente de la recta hallada que contiene al lado a:


Cálculo de la pendiente de la perpendicular en el ejercicio 1 del circuncentro del triángulo

Sabiendo que la mediatriz Ma pasa por el punto medio ry sabemos su pendiente, que es igual a 4, podemos obtener la ecuación de su recta.


Cálculo de la ecuación de la mediatriz Ma en el ejercicio 1 del circuncentro del triángulo

Esta es la ecuación de la mediatriz Ma.

Ahora procedemos del mismo modo para hallar la ecuación de la recta que contiene a la mediatriz Mb, es decir, la que pasa por el punto medio s y es perpendicular al lado b comprendido entre los vértices A y C.

En primer lugar, la pendiente de la recta del lado b:


Cálculo de la pendiente de la recta AC en el ejercicio 1 del circuncentro del triángulo

Ahora hallaremos las coordenadas del punto medio s entre los vértices B y C.


Cálculo del punto medio s en el ejercicio 1 del circuncentro del triángulo

La ecuación de la recta que contiene a la mediatriz Mb, es decir, la que partiendo del punto medio s es perpendicular al lado AC. La pendiente de esta recta será, por lo tanto –7/4. Con la pendiente de una recta y uno de sus puntos podemos hallar la ecuación:


Cálculo de la ecuación de la mediatriz Mb en el ejercicio 1 del circuncentro del triángulo

Tenemos las ecuaciones de dos de las mediatrices del triángulo.


Dibujo del circuncentro y ecuaciones en el ejercicio 1 del circuncentro de un triángulo

Se resuelve este sistema de dos ecuaciones con dos incògnites por el método de sustitución, elmás idóneo, dada la forma de la primera ecuación:


Cálculo de la resolución de ecuaciones en el ejercicio 1 del circuncentro del triángulo

Las raices de este sistema de ecuaciones son: x = 0,39, y = 1,57. Son las coordenadas buscadas del circuncentro O.


Dibujo de la solución del circuncentro en el ejercicio 1 del circuncentro de un triángulo

El circuncentro O es el centro de la circunferencia circunscrita:


Dibujo de la circunferencia circunscrita en el ejercicio 1 del circuncentro de un triángulo

4 Respuestas

  1. Jose Daniel Lopez Jimenez dice:

    es muy bueno para mi tarea de geometria

  2. joaquin dice:

    esta muy bueno pero falta ejemplo de com se rsuelve+

  3. laura dice:

    me cirbe para todas las tareas fabuloso

  4. Ana Laura Espitia Paredes dice:

    Estaría mucho más completa la información si anexarán un ejemplo de como se resuelve

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