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Bisectriz de un triángulo

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Dibujo de las tres bisectrices de un triángulo y del incentro.

La bisectriz de un triángulo es el segmento que, dividiendo uno de sus tres ángulos en dos partes iguales, termina en el correspondiente lado opuesto.

Existen tres bisectrices (Ba, Bb y Bc), según el ángulo en el que empieza. La longitud de las bisectrices se calculan con la fórmula:


Fórmula de las tres bisectrices del triángulo.

Las tres bisectrices de un triángulo confluyen en un punto llamado incentro (I). Éste siempre es un punto interior de cualquier triángulo.

Dibujo de las tres bisectrices de un triángulo, el incentro y la circunferencia inscrita.

El incentro (I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

El radio de la circunferencia inscrita se halla mediante la fórmula:


Fórmula del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo.

Dibujo de las circunferencias circunscrita e inscrita para la relación entre sus radios.

La relación entre el radio R del circuncentro O (mediante las mediatrices) y el radio r del incentro I (mediante las bisectrices) es:


Fórmula de la relación entre los radios de la circunferencia circunscrita e inscrita en un triángulo.

Teorema de la bisectriz

Dibujo de la teorema de la bisectriz

En todo triángulo Δ ABC, la razón entre la longitud de dos lados adyacentes al vértice relativo a una de sus bisectrices es igual a la razón entre los segmentos correspondientes en que la bisectriz divide al lado opuesto.

La ecuación del teorema de la bisectriz es:


Fórmula del teorema de la bisectriz

También se cumple que:


Cálculos en el teorema de la bisectriz de un triángulo

Ejercicio

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Ejemplo de un triángulo, sus tres bisectrices y el incentro.

Sea un triángulo con los tres lados conocidos, siendo estos a=3 cm, b=4 cm y c=2 cm.

¿Cuales son sus bisectrices Ba, Bb y Bc? Primero calcularemos el semiperímetro (s).


Cálculo del semiperímetro de un triángulo.

Obtenemos que el semiperímetro es s=4,5 cm. Ahora podemos calcular las tres bisectrices:


Cálculo de las tres bisectrices del triángulo.

Y las tres bisectrices serán Ba=2,45 cm, Bb=1,47 cm y Bc=3,32 cm.

Otros elementos notables de un triángulo

11 Respuestas

  1. ashley dice:

    no entiendo ninguna cosa

  2. Raquel dice:

    Me encanta la forma en la que explican los temas,pero tengo una duda de donde sale 2.45??

  3. ANDRY SANDOVAL dice:

    no en tiendo lo largo por favor contesta

  4. Axel Martínez dice:

    De donde sale el 7.35, no logro saber cómo ? Por favor contesta

  5. Luis dice:

    Hola! Muy buena formula, pero como se obtiene. estoy teniendo problemas para ver de donde viene. Gracias

    • Universo Formulas Respuestas dice:

      Muy bién que te guste. La demostración es un poco larga. Viene de una variación de la fórmula de Herón y del Teorema de la Bisectriz. Si miras la figura de la web, sería que b/c = CM/BM. La longitud de la bisectriz del ángulo A intercepta al lado a en el punto M. Se da que la bisectriz Ba es la raiz cuadrada de (b.c – BM.CM). Y, análogamente para las otras dos.

  6. CATALINA ARRIAZA dice:

    GRACIAS POR LA INFORMACION ME CIRVIO DE MUCHO

  7. Gener Canto dice:

    Invaluable ayuda. Estoy repasando estos temas con mis grupos de 1o de secundaria. Muchas gracias..

  8. daye dice:

    Los amo a todos

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