× NO BLOQUEES a Universo Formulas

¡Hola! Al parecer tienes en el navegador un bloqueador de anuncios (Adblocker, Ablock Plus,...) que impide que se visualicen nuestros anuncios.

Queremos recordarte que este proyecto vive únicamente de la publicidad y que sin estos ingresos no podremos seguir ayudándote.

No te pedimos que desinstales tu bloqueador de anuncios, sólo que no actúe en las páginas de nuestro dominio universoformulas.com y así podremos mostrarte nuestros bloques de anuncios.

¡Gracias por todo y que sigas disfrutando de Universo Formulas!

Este aviso se cerrará automáticamente en 30 segundos.

Baricentro de un triángulo

ANUNCIOS

Dibujo del baricentro de un triángulo como intersección de las tres medianas

El baricentro de un triángulo (o centroide) G es el punto donde concurren las tres medianas del triángulo.

Las medianas (ma, mb y mc) son los segmentos que unen uno de sus vértices con el centro del lado opuesto.

Se cumple la siguiente propiedad: la distancia entre el baricentro (centroide) y su vértice correspondiente es el doble de la distancia entre el baricentro y el lado opuesto. Es decir, la distancia del centroide a cada vértice es de 2/3 la longitud de cada mediana.


Propiedad del baricentro de un triángulo

En física, el baricentro de un triángulo (G) sería el centro de gravedad de éste.

El centroide está siempre en el interior del triángulo.

Cálculo de las coordenadas del baricentro de un triángulo

ANUNCIOS


Dibujo de las coordenadas de los vértices de un triángulo para calcular su baricentro

Si conocemos las coordenadas de los tres vértices del triángulo, las coordenadas del centroide o baricentro serán la media aritmética de dichas coordenadas.

Hallemos la media aritmética de dichas coordenadas y tendremos situado el baricentro de un triángulo en un sistema de coordenadas:


Fórmula de las coordenadas del baricentro de un triángulo

Ejercicio

Dibujo del ejemplo 1 de un triángulo para calcular su baricentro

En el triángulo de la figura, con coordenadas conocidas de los tres vértices, hallar las coordenadas del baricentro mediante la media aritmética de las coordenadas de los vértices o por la intersección de las medianas, conociendo las ecuaciones de las rectas a las que pertenecen.

Solución:

Las coordenadas de los vértices vemos que son: A (-4, 0), B (2, -3), C (4, 2).

Calculamos las coordenadas del baricentro del triángulo obteniendo la media aritmética de las tres coordenadas en abscisas y ordenadas:


Cálculo de las coordenadas del baricentro del ejemplo 1 de triángulo

Ahora volveremos a hallar las coordenadas del baricentro, pero mediante la intersección de dos de sus medianas, conociendo las ecuaciones de las rectas a las que pertenecen.

Elegimos las medianas ma y mc. Para hallar las ecuaciones de sus rectas tenemos las coordenadas de los vértices A y C. Necesitaremos saber las coordenadas de los puntos medios de los lados opuestos a cada vértice, a los que llamaremos a’ y c’.


Cálculo de las coordenadas de los puntos medios de las medianas en el ejemplo 1 de baricentro de triángulo

Con dos puntos, podemos obtener las ecuaciones de las dos rectas.

Del vértice A al punto medio a’, la ecuación de su recta es:


Cálculo de la ecuación de la recta de la mediana 1 en el ejemplo 1 de baricentro de triángulo

La ecuación de la primera mediana es:


Cálculo de la ecuación de la mediana 1 en el ejemplo 1 de baricentro de triángulo

Del vértice C al punto medio c’, la ecuación de su recta es:


Cálculo de la ecuación de la recta de la mediana 2 en el ejemplo 1 de baricentro de triángulo

La ecuación de la segunda mediana es:


Cálculo de la ecuación de la mediana 2 en el ejemplo 1 de baricentro de triángulo

Resolvemos este sistema de dos ecuaciones lineales o de primer grado con dos incógnitas. Sus dos raíces serán las coordenadas del punto donde se cortan las dos rectas, es decir, las coordenadas buscadas del centroide de este triángulo.


Cálculo del sistema de dos ecuaciones en el ejemplo 1 de baricentro de triángulo

En primer lugar multiplicamos los dos términos de la primera ecuación por 2 para que la x tenga un coeficiente entero (el 1) y despejamos la incógnita x para resolver el sistema de ecuaciones por el método de sustitución:


Cálculo para despejar la x en el ejemplo 1 de baricentro de triángulo

Sustituimos el valor de x en la segunda ecuación para hallar la y:


Cálculo para hallar la y en el ejemplo 1 de baricentro de triángulo

Ahora, este valor de y lo trasladamos a la expresión anterior de la x:


Cálculo para hallar la x en el ejemplo 1 de baricentro de triángulo

Con lo que hemos obtenido el mismo resultado para las coordenadas del baricentro (o centroide) de este triángulo que mediante el primer procedimiento:


Dibujo de las coordenadas del ejemplo 1 de baricentro de un triángulo

Recta de Euler

En todo triángulo no equilátero, se cumple la siguiente propiedad: el ortocentro (H), el baricentro (G) y el circuncentro (O) están alineados. La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler.


Dibujo de la recta de Euler.

Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G) al circuncentro (O). O dicho de otro modo, el segmento HG es el doble que el GO.


Fórmula de la relación de las distancias entre centros en la recta de Euler.

En el caso de un triángulo equilátero, el baricentro, el ortocentro, el circuncentro y el incentro coinciden en un mismo punto interior, que está a la misma distancia de los tres vértices.

Esta distancia a los tres vértices de un triángulo equilátero es igual a Distancia 1 en la Recta de Euler desde un lado y, por tanto, Distancia 2 en la Recta de Euler al vértice, siendo h su altura.

1 respuesta

  1. felix lopez dice:

    muy bueno, sencillo y rapido, gracia.

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *