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Área del polígono irregular

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El cálculo del área de un polígono irregular requiere de métodos alternativos de cálculo de áreas. El método más común es dividir el polígono en N triángulos (siendo N el número de lados del polígono) y calcular la área como suma de las áreas de los triángulos.

Dibujo del área del polígono irregular


Fórmula del área del pentágono irregular

El área del polígono irregular se puede calcular mediante dos procedimientos alternativos: el método de triangulación o el determinante de Gauss:

Triangulación del polígono irregular

Polígono irregular

Sea P un polígono irregular. Se desea calcular su área (A).

El método de triangulación consiste en dividir el polígono en figuras más fáciles de calcular el área. En este caso se divide en N triángulos y el área del polígono será la suma del área de esos N triángulos.

    Polígono irregular dividido en N triángulos.

  1. Se divide el polígono en N triángulos (T1, T2, T3,…, TN) . Estos triángulos cumplen que uno de sus lados es un lado del polígono y que todos confluyen en un mismo punto interior.
  2. Polígono irregular dividido en N triángulos y con la altura de ellos.

  3. Se miden las alturas (h1, h2,…, hN) de los triángulos. La altura de cada triángulo será el segmento de recta perpendicular al lado del polígono que va desde ese mismo lado hasta el punto interior.
  4. Primer triángulo del pentágono irregular dividido en cinco triángulos.

  5. Se calculan las áreas de los N triángulos. El área del primer triángulo es:


    Fórmula del área del primer triángulo del pentágono irregular.

    Utilizamos la misma fórmula para calcular el área de los otros N-1 triángulos.

  6. Sumamos las N áreas y obtenemos el área del polígono irregular:


    Fórmula del área del polígono irregular

Determinante de Gauss

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Un procedimiento muy útil para hallar el área de cualquier polígono irregular es a través del determinante de Gauss.

Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano, fijando las coordenadas de cada uno de los vértices del polígono.

Dibujo de la elección y enumeración de los puntos del pentágono irregular para el determinante de Gauss.

Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente fórmula. Se ha de recorrer el polígono en el sentido contrario al de las agujas del reloj, teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al vértice elegido y, después de recorrer en sentido antihorario todos los vértices, el último par debe volver a ser el par inicial.

Sean los vértices del polígono: (x1,y1), (x2,y2),…, (xN,yN). La fórmula és la siguiente:


Fórmula del área del polígono irregular mediante el Determinante de Gauss

Resolviéndolo por el procedimiento conocido, habremos hallado rápidamente el área del polígono irregular.

Este método es aplicable a cualquier polígono con cualquier número de lados, tanto en el caso de polígonos cóncavos como en los convexos.

44 Respuestas

  1. Rigo dice:

    Te voy a manda la formula mas sensilla para sacar el area de un poligono irregular

  2. ,mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm dice:

    ok

  3. Ricardo dice:

    Hola, exelentes fórmulas, pero si es un cuadrilátero irregular en donde sus lados son desiguales y tenemos solo la medida de sus diagonales perpendiculares…?

    • Respuestas dice:

      Haces, Ricardo, una buena pregunta. El área de un cuadrilátero irregular con sus cuatro lados desiguales, pero con una particularidad: que sus diagonales sean perpendiculares.
      La fórmula es la misma que la del área del rombo y la del deltoide, cuadriláteros con sus diagonales también perpendiculares.
      Área = D1*D2/2

  4. Javier Tiburcio Mariscal Carro dice:

    Hola buenas tardes, como puedo sacar el area de un terreno que tiene estas medidas y dividirlo en cinco partes iguales; 48.31 mts. 79.80 mts. 24.15 mts 6.04 mts 18.75 mts y 22.16 mts

    • Esteban dice:

      Si se puede calcular resolviendo varios sistemas de ecuaciones con la fórmula de distancia entre dos puntos y después fórmula de heron

    • Respuestas dice:

      El terreno es un hexágono irregular del que conocemos los lados, pero ningún ángulo ni diagonal. Con esos datos se pueden construir muchos hexágonos.

    • Respuestas dice:

      Con las medidas perimetrales no es suficiente. Debes medir las diagonales entre esquinas,dividirlo en triángulos y sacar cada áreas de cada triángulo mediante la “formula de Herón” (Web)

  5. job montes santos dice:

    alguien podra ayudarme a saber cuantas hectareas tiene este terrerno cuyas medidas son N 348 al Sur 366, al oriente 170 y al poniente 196.

    • Universo Formulas Respuestas dice:

      Job, te ofrezco dos procedimientos.
      Uno: Ve a la página “área del trapezoide”. Verás que lo tienes que resolver gráficamente. Has de dibujar el terreno con la ayuda de un compás. Dividirlo mediante una diagonal (en la figura es BD). Se forman dos triángulos. Si tomas como base común a los dos la diagonal BD, desde ella trazas las dos alturas a los vértices A y C.
      Sumas las áreas de los dos triángulos y tienes el área del terreno.
      Otro procedimiento, aunque también gráfico, requiere igualmente que dibujes el terreno. Con un medidor de ángulos ves cuánto miden los ángulos en A y en C.
      Aplicas la fórmula:
      Área = 1/2 (AD · AB · sen A + CD · CB · sen C).
      Espero que te sirva.

  6. Yedi dice:

    Cual es el area de un terreno con las siguientes medidas 72.8, 183.04, 75, 151.3

    • Universo Formulas Respuestas dice:

      No tienes suficientes datos. Con las medidas de los cuatro lados podrias construir un número infinito de trapezoides, que es el polígono irregular en este caso. Te haria falta dividirlo en dos triángulos y hallar sus bases. Sabiendo una de sus diagonales, por la fórmula de Herón, que la tienes en la web, puedes calcular las dos áreas.

  7. Lorena dice:

    Comosaco la hipotenusa si solo se que el cateto mayor mide 140% mas que el menor y el area es de 30m2.?

  8. eugenio dice:

    como saco los metros cuadrados de mi terreno que tiene 5 medidas diferente primera 62m segunda 183m tercera 20m cuarta 160m quinta 60 por fafor ayunme co la foprmula

  9. Marie dice:

    Hola! ¿Un triángulo escaleno tiene apotema?

  10. Moises dice:

    Muchas Gracias., muy clara la explicacion, bendiciones a todos

  11. Irene pene dice:

    Irene le pidio papar a Ares y Ares le dijo que no entonces le pidio a Charly y lo utilizo de segundo plato , cuando se lo papo en espacio coruña .Antes ya habian salido pero solo por que Irene queria poner celoso a Ares y como a Ares le da asco Irene pasa de ella por que ella le pidio varias veces consecutivas y Ares le dijo que no consecutivasveces

  12. Eustaquio Secundino Marcial dice:

    jajajajaj pa que quiero saber eso? saludos

  13. zianya natali dice:

    Gracias es que no sabia

  14. genesis dice:

    es muy clarala imformacion q dan

  15. brenda jazmin yepes alonso dice:

    es muy facil de entender las formulas😅🎭🎄🐱

  16. DIANA dice:

    necesito sacar el area total de un terreno irregular que tiene las siguientes medidas 8 metros x el norte, 12metros x el sur, x el oriente 12metros, y x el occidente 10 metros..alguien me ayuda

  17. Joel M. Mendoza dice:

    Hola buenas tardes no se si me puedan ayudar a calcular el area de un terreno con las siguientes medidas
    35.80 , 54 , 18 , 34.60 …se los voy a agrdeser mucho si me ayudan ……

  18. Luis Villegas dice:

    Quisiera saber si me podrian ayudar a sacar el area de un poligono irregular de 5 lados con las siguientes medidas:
    31.47m
    135.62m
    64.38m
    114.60m
    53.93m

  19. julio cesar centurion dice:

    muy instructivo y explicito sobre el tema desarrollados…gracias x las ayudas..

  20. Ari dice:

    Ayúdame xfa.. Necesito sacar el área de un terreno irregular.. las medidas son al norte 16 m.. al sureste 16m.. al oriente 21.43m y al poniente 31.54m…. Estoy desesperada… Gracias!!

  21. paola flores dice:

    me sirvio mucho esta pagina de veras se los agradesco

  22. Jose Ramos dice:

    esta bien narrado me sirvió de mucho gracias y cuidensen

  23. Carla dice:

    Como calculo las alturas de los triangulos, si solo tengo las medudas de los lados del pentagono?

  24. Carla dice:

    Tengo un pentagono irregular, con las medidas de sus lados, entendi lo de dividir en triangulos respectivamente, pero como calculo las alturas para poder sacar el area de cada uno?
    Las medidas de los lados son:
    82,6458
    26,1554
    71,4889
    55,3521
    45,7218

  25. mauricio rivera dice:

    en una ciudad hay un parque culla forma esla de un poligono de 11 lados la carpa esa rodeada por una ginaldo con luces que tiene una longitud total 66 metros cuantos desimetros mide el lado de la carpa porfavor la respueta

  26. karla itzel dice:

    no le entendi nadadita

  27. Giulia dice:

    Hola.Lo he mirado todo y no entiendo nada.Mañana tego examen y no me lo se incluso si mw lo explican.Por favor podrias intentar explicarmelo?

  28. FABIAN dice:

    Hola, me gustaria saber cuanto es el area de un terreno en forma de pentagono irregular cuyas medidas de sus lados son : 16.97metros , 31metros , 7.38metros, 14.02metros, y 27.30metros. Gracias!

    • jack dice:

      De forma más general, calcularemos la superficie de cualquier polígono regular, independientemente del número de lados. Al igual que pasaba con el pentágono y el hexágono, el área es el producto de apotema y perímetro entre dos. Si usamos relaciones trigonométricas podremos calcular la apotema a partir del lado y, puesto que el perímetro de la figura es únicamente función del lado, podremos tener la fórmula, para este caso, dependiendo únicamente del número de lados y el valor de este.

  29. Javier dice:

    Oye muy bien explicado pero me gustaria saber el area de un pòligono irregular con 4 lados porfavor

    • Universo Formulas dice:

      Hola Javier, ¡muchas gracias!
      Un polígono irregular de 4 lados puede ser un rectángulo, un rombo, un romboide, un trapecio o un trapezoide.
      Puedes calcular su área aplicando las fórmulas para polígonos irregulares de cuatro lados o bien sabiendo el tipo de figura que es (las expuestas en este comentario) y aplicando la fórmula del área específica para esta figura.

  30. robbie dice:

    es decir tengo un cuadrado de dos cm o sea 4 por 4 = 8
    y un rectángulo de 3 por 4 sumo las dos área y la suma es : 20 optamos por guardar la base del rectángulo que es 4 para formar una nueva cuadrilátero: 20 = 4 * x = 5 o sea la nueva altura será 5 o sea 5 por 4 = 20 como se hace esto en un triangulo?

    Un triangulo equilátero cuyo apotema es menor que los lados por decir tengo triangulo mas pequeño y otro similar como se sustituyen por uno? porque si opto por no cambiar la base, el apotema crece y se hace un triangulo isósceles! los dos lados mas grande la base igual pero la apotema mas grande! que es lo que no estoy haciendo bien? porfa una respuesta que me pueda ayudar! traten lo ustedes mismos! me estoy rompiendo el coco con esto!

  31. Javier dice:

    Enhorabuena, muy bien explicado y muy didáctico. Siempres supone un problema calcular el área de un poligono irregular.

    Otro método que recomiendo es utilizar la fórmula de Pick, que dibujando el poligono en un papel cuadriculado se puede obtener el área simplemente contando los puntos que hay en el perímetro y los puntos interiores.

    Saludos

    Javier

  32. Mariano dice:

    Me gusta como está explicado. Felicitaciones.

  33. Universo Formulas dice:

    Hola Nidia,
    En este caso no se trata de calcular el área de un pentágono irregular, sino del perímetro del pentágono irregular (te recomiendo que visites ésta página de la web). Por tanto, la longitud de la valla que lo rodea es la suma de sus cinco lados, es decir 45+39+29+17+39=169 metros.
    Un saludo.

  34. nidia merchan dice:

    hola buenas tardes me gustaria que me explicaras sobre el siguiente ejericio es que no entendemos como realizarlo:
    En una ciudad hay un parque cuya forma es la de un pentagono irregular. Los lados miden respectivamente, 45,39,29,17,y 39 metros¿ Que longitud tiene la valla que lo rodea? les agradeceri su colaboracion si es posiblemente paso por paso para poder explicar a mi hija .

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