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Área del octógono

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Un octógono es un polígono de ocho lados.

El cálculo del área de un octógono es diferente dependiendo de si el octógono es regular o irregular.

Área del octógono regular

Dibujo del área del octógono regular

El área del octógono regular se calcula como la mitad del producto del perímetro y la apotema (ap), utilizando la fórmula del área del poligono regular.

Al ser su perímetro ocho veces la longitud (L) de uno de sus lados, el área será:


Fórmula del área del octógono regular

Se calcula su apotema con esta fórmula:


Cálculo de la apotema para el cálculo del área del octógono regular

Donde α es el ángulo interior del octógono. Así, la fórmula del área del octógono regular se puede expresar así:


Segunda fórmula del área del octógono regular

En la que, agrupando las constantes, con aproximación a dos decimales, se queda así:


Tercera fórmula del área del octógono regular

Área del octógono irregular

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El área de un octógono irregular requiere para ser calculada de métodos alternativos de cálculo de áreas. El más común es dividir el octógono en ocho triángulos y calcular el área mediante la suma de las ocho áreas de los triángulos.

Dibujo del área del octógono irregular


Fórmula del área del octógono irregular

Se puede calcular el área del octógono irregular mediante dos procedimientos alternativos: el método de triangulación o el determinante de Gauss.

Triangulación del octógono irregular

Octógono irregular

Sea P un octógono irregular. Se desea calcular su área (A).

El método de triangulación consiste en dividir el octógono en figuras más fáciles de calcular el área. En este caso se divide en ocho triángulos y el área del octógono será la suma del área de esos ocho triángulos.

    Octógono irregular dividido en ocho triángulos.

  1. Se divide el octógono en ocho triángulos (T1, T2, T3, T4, T5, T6, T7 y T8) . Estos triángulos cumplen que uno de sus lados es un lado del octógono y que todos confluyen en un mismo punto interior del octógono.
  2. Octógono irregular dividido en ocho triángulos y con la altura de ellos.

  3. Se miden las alturas (h1, h2,…, h8) de los triángulos. La altura de cada triángulo será el segmento de recta perpendicular al lado del octógono que va desde ese mismo lado hasta el punto interior.
  4. Primer triángulo del octógono irregular dividido en ocho triángulos.

  5. Se calculan las áreas de los ocho triángulos. El área del primer triángulo es:


    Fórmula del área del primer triángulo del pentágono irregular.

    Utilizamos la misma fórmula para calcular el área de los otros siete triángulos.

  6. Sumamos las ocho áreas y obtenemos el área del octógono irregular:


    Fórmula del área del octógono irregular

Determinante de Gauss

Un procedimiento muy útil para hallar el área de cualquier polígono irregular es a través del determinante de Gauss.

Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano, fijando las coordenadas de cada uno de los vértices del polígono.

Dibujo de la elección y enumeración de los puntos del octógono irregular para el determinante de Gauss.

Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente fórmula. Se ha de recorrer el polígono en el sentido contrario al de las agujas del reloj, teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al vértice elegido y, después de recorrer en sentido antihorario todos los vértices, el último par debe volver a ser el par inicial.

Sean los vértices del octógono: (x1,y1), (x2,y2),…, (x8,y8). La fórmula es la siguiente:

Fórmula del área del octógono irregular mediante el Determinante de Gauss

Resolviéndolo por el procedimiento conocido, habremos hallado rápidamente el área del octógono irregular.

Este método es aplicable a cualquier polígono con cualquier número de lados, tanto en el caso de polígonos cóncavos como en los convexos.

Ejercicio del área del octógono regular

Dibujo de un ejemplo de octógono regular

Sea un octógono regular con los ocho lados (N=8) de la misma longitud L=2,3 cm.

La apotema (distancia del centro del octógono al punto medio de un lado) se puede calcular mediante el ángulo central (resolución del polígono regular trigonométricamente).

Sea el ángulo central:


Cálculo del ángulo central de un octógono regular para el cálculo de su área

Mediante las razones trigonométricas y el ángulo central se calcula la apotema:


Cálculo de la apotema de un octógono regular para el cálculo de su área

Y la apotema es ap=2,78 cm.

Se aplica la fórmula del área del octógono regular:


Cálculo del área de un octógono regular mediante su fórmula

Y se obtiene que el área es 25,58 cm2.

7 Respuestas

  1. Kendall Vertes. dice:

    Esta bien trazado como sacar el área.
    Adiós a todos los que comentaron!!!

  2. Anonimo dice:

    Las formulas no estan tan bien explicadas pero graciasbpor lo.demas

  3. Rafael Alvarez dice:

    lo ví muy fácil gracias por la publicación

  4. anonimo dice:

    Enseñen métodos más sencillos y menos coplejos

  5. Mariano Del Valle dice:

    expliquen bien las formulas no se entienden nada

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