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Área del octógono irregular

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El área de un octógono irregular requiere para ser calculada de métodos alternativos de cálculo de áreas. El más común es dividir el octógono en ocho triángulos y calcular el área mediante la suma de las ocho áreas de los triángulos.

Dibujo del área del octógono irregular


Fórmula del área del octógono irregular

Se puede calcular el área del octógono irregular mediante dos procedimientos alternativos: el método de triangulación o el determinante de Gauss:

Triangulación del octógono irregular

Octógono irregular

Sea P un octógono irregular. Se desea calcular su área (A).

El método de triangulación consiste en dividir el octógono en figuras más fáciles de calcular el área. En este caso se divide en ocho triángulos y el área del octógono será la suma del área de esos ocho triángulos.

    Octógono irregular dividido en ocho triángulos.

  1. Se divide el octógono en ocho triángulos (T1, T2, T3, T4, T5, T6, T7 y T8) . Estos triángulos cumplen que uno de sus lados es un lado del octógono y que todos confluyen en un mismo punto interior del octógono.
  2. Octógono irregular dividido en ocho triángulos y con la altura de ellos.

  3. Se miden las alturas (h1, h2,…, h8) de los triángulos. La altura de cada triángulo será el segmento de recta perpendicular al lado del octógono que va desde ese mismo lado hasta el punto interior.
  4. Primer triángulo del octógono irregular dividido en ocho triángulos.

  5. Se calculan las áreas de los ocho triángulos. El área del primer triángulo es:


    Fórmula del área del primer triángulo del pentágono irregular.

    Utilizamos la misma fórmula para calcular el área de los otros siete triángulos.

  6. Sumamos las ocho áreas y obtenemos el área del octógono irregular:


    Fórmula del área del octógono irregular

Determinante de Gauss

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Un procedimiento muy útil para hallar el área de cualquier polígono irregular es a través del determinante de Gauss.

Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano, fijando las coordenadas de cada uno de los vértices del polígono.

Dibujo de la elección y enumeración de los puntos del octógono irregular para el determinante de Gauss.

Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente fórmula. Se ha de recorrer el polígono en el sentido contrario al de las agujas del reloj, teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al vértice elegido y, después de recorrer en sentido antihorario todos los vértices, el último par debe volver a ser el par inicial.

Sean los vértices del octógono: (x1,y1), (x2,y2),…, (x8,y8). La fórmula es la siguiente:


Fórmula del área del octógono irregular mediante el Determinante de Gauss

Resolviéndolo por el procedimiento conocido, habremos hallado rápidamente el área del octógono irregular.

Este método es aplicable a cualquier polígono con cualquier número de lados, tanto en el caso de polígonos cóncavos como en los convexos.

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