Área del heptágono

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Un heptágono es un polígono de siete lados.

El cálculo del área de un heptágono es diferente dependiendo de si el heptágono es regular o irregular.

Área del heptágono regular

Dibujo del área del heptágono regular

El área del heptágono regular es un medio del perímetro por la apotema (ap), utilizando la fórmula del área del poligono regular.

Al ser su perímetro siete veces la longitud (L) de uno de sus lados, el área será:


Fórmula del área del heptágono regular

La relación entre la apotema (ap) de un polígono regular con su lado L está en esta web en apotema de un polígono regular.

El área de un heptágono regular en función de la longitud de su lado para simplificar el cálculo, se puede hallar directamente así:


Fórmula del área del heptágono regular mediante su lado

Área del heptágono irregular

El cálculo del área de un heptágono irregular requiere de métodos alternativos de cálculo de áreas. El más común es dividir el heptágono en siete triángulos y calcular el área sumando las siete áreas de los triángulos.

Dibujo del área del heptágono irregular


Fórmula del área del heptágono irregular


Podemos calcular el área del heptágono irregular mediante dos procedimientos alternativos: el método de triangulación o el determinante de Gauss.

Triangulación del heptágono irregular

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Heptágono irregular

Sea H un heptágono irregular. Se desea calcular su área (A).

El método de triangulación consiste en dividir el heptágono en figuras más fáciles de calcular el área. En este caso se divide en siete triángulos y el área del heptágono será la suma del área de esos siete triángulos.

    Heptágono irregular dividido en siete triángulos.

  1. Se divide el heptágono en siete triángulos (T1, T2, T3, T4, T5, T6 y T7) . Estos triángulos cumplen que uno de sus lados es un lado del heptágono y que todos confluyen en un mismo punto interior del heptágono.

  2. Heptágono irregular dividido en siete triángulos y con la altura de ellos.

  3. Se miden las alturas (h1, h2,…, h7) de los triángulos. La altura de cada triángulo será el segmento de recta perpendicular al lado del heptágono que va desde ese mismo lado hasta el punto interior.

  4. Primer triángulo del heptágono irregular dividido en siete triángulos.

  5. Se calculan las áreas de los siete triángulos. El área del primer triángulo es:

    Fórmula del área del primer triángulo del heptágono irregular.

    Utilizamos la misma fórmula para calcular el área de los otros seis triángulos.

  6. Sumamos las siete áreas y obtenemos el área del heptágono irregular:

    Fórmula del área del heptágono irregular

Determinante de Gauss

Un procedimiento muy útil para hallar el área de cualquier polígono irregular es a través del determinante de Gauss.

Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano, fijando las coordenadas de cada uno de los vértices del polígono.

Dibujo de la elección y enumeración de los puntos del heptágono irregular para el determinante de Gauss.

Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente fórmula. Se ha de recorrer el polígono en el sentido contrario al de las agujas del reloj, teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al vértice elegido y, después de recorrer en sentido antihorario todos los vértices, el último par debe volver a ser el par inicial.

Sean los vértices del heptágono: (x1,y1), (x2,y2),…, (x7,y7). La fórmula es la siguiente:

Fórmula del área del heptágono irregular mediante el Determinante de Gauss

Resolviéndolo por el procedimiento conocido, habremos hallado rápidamente el área del heptágono irregular.

Este método es aplicable a cualquier polígono con cualquier número de lados, tanto en el caso de polígonos cóncavos como en los convexos.

Ejemplo del área del heptágono regular

Dibujo de un ejemplo de heptágono regular

Sea un heptágono regular con los siete lados (N=7) de la misma longitud L=2,4 cm.

La apotema (distancia del centro del heptágono al punto medio de un lado) se puede calcular mediante el ángulo central (resolución del polígono regular trigonométricamente).

Sea el ángulo central:


Cálculo del ángulo central de un heptágono regular para el cálculo de su área

Mediante las razones trigonométricas y el ángulo central se calcula la apotema:


Cálculo de la apotema de un heptágono regular para el cálculo de su área

Y la apotema es ap=2,49 cm.

Se aplica la fórmula del área del heptágono regular:


Cálculo del área de un heptágono regular mediante su fórmula

Y se obtiene que el área es 20,93 cm2.

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