Altura de un triángulo

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Dibujo de las tres alturas de un triángulo y del ortocentro.

La altura de un triángulo es el segmento perpendicular a un lado que va desde el vértice opuesto a este lado (o a su prolongación). También puede entenderse como la distancia de un lado al vértice opuesto.

Hay tres alturas (ha, hb y hc), según a que lado está asociada dicha altura. A partir de la fórmula de Herón, conociendo los tres lados (a, b y c), se pueden hallar las tres alturas:


Fórmula de las tres alturas del triángulo.

Dibujo de las tres alturas de un triángulo y del ortocentro.

Las tres alturas del triángulo (o sus prolongaciones) se cortan en un punto llamado ortocentro (H).

Las alturas podrían estar en el exterior del triángulo, en el caso de que sea un triángulo obtusángulo. El ortocentro también será exterior en los triángulos obtusángulos. En los rectángulos coincidirá con el vértice del ángulo recto. En los acutángulos, será un punto interior.


Altura del triángulo equilátero

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Dibujo del triángulo equilátero para el cálculo de su altura

La altura (h) del triángulo equilátero se puede calcular a partir del teorema de Pitágoras. Los lados a, a/2 y h forman un triángulo rectángulo. Los costados a/2 y h son los catetos y a la hipotenusa.

Aplicando el teorema de Pitágoras:


Cálculo de la altura del triángulo equilátero.

Y obtenemos que la altura (h) del triángulo equilátero es:


Fórmula de la altura del triángulo equilátero.

Dibujo del triángulo equilátero para el cálculo de su altura por razones trigonométricas.

Otro procedimiento para calcular su altura sería a partir de las razones trigonométricas.

Respecto al ángulo de 60º, la razón entre la altura h y la hipotenusa del triángulo a es igual al seno de 60º. Por tanto:


Cálculo de la altura del triángulo equilátero por razones trigonométricas.

Altura del triángulo isósceles

Dibujo del triángulo isósceles para el cálculo de su altura

La altura (h) del triángulo isósceles se puede calcular a partir del teorema de Pitágoras. Los lados a, b/2 y h forman un triángulo rectángulo. Los costados b/2 y h son los catetos y a la hipotenusa.

Por el teorema de Pitágoras:


Cálculo de la altura del triángulo isósceles

Y se obtiene que la altura h es:


Fórmula de la altura del triángulo isósceles.

En un triángulo isósceles, la altura correspondiente a la base (b) es también la bisectriz, mediatriz y mediana.

Altura del triángulo rectángulo

Dibujo del triángulo rectángulo

Las alturas del triángulo rectángulo asociadas a los catetos (a y b) son el cateto opuesto. Por lo tanto, ha=b y hb=a.

Para calcular la altura asociada al lado c (la hipotenusa) se recurre al teorema de la altura.

Dibujo del triángulo rectángulo para el teorema de la altura

La altura h (o hc) puede obtenerse conociendo los tres lados del triángulo rectángulo.


Fórmula de la altura por el teorema de la altura a partir de los lados

Ejemplo

Dibujo de un ejemplo de triángulo y sus tres alturas.

Sea un triángulo con los tres lados conocidos, siendo estos a=3 cm, b=4 cm y c=4.5 cm.

¿Cuales son sus alturas ha, hb y hc? Primero calcularemos el semiperímetro (s).


Cálculo del semiperímetro de un triángulo.

Obtenemos que el semiperímetro es s=5,75 cm. Ahora podemos calcular las tres alturas


Cálculo de las tres alturas del triángulo.

Y las tres alturas serán ha=3,92 cm, hb=2,94 cm y hc=2,61 cm.

Otros elementos notables de un triángulo


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21 Respuestas

  1. Crystal dice:

    Alguien me lo puede explicar x FA

  2. jhony dice:

    determine la altura de un triángulo equilátero de lado a alguien me explica porfavor?

  3. jhony dice:

    y si tengo un triangulo equilatero necesito hallar la altura y tiene un angulo alfa como ago? porfavor esq no entiendo bien esa pregunta

    • jhony dice:

      y si tengo un triangulo equilatero necesito hallar la altura y tiene un angulo alfa como ago? porfavor esq no entiendo bien esa pregunta de lado a perdón

  4. élida dice:

    gracias, si me ayudó

  5. lolololololol dice:

    de verdad es bueno

  6. Gabriela Michelle Martinez Córdova dice:

    me encanto esta pagina me ayudo mucho la verdad

  7. Gab956 dice:

    Me ayudo A Mi Examen :D, Gracias, Es Muy Bueno Para Matemáticas

  8. belen dice:

    la verdad no me entran las matematicas esta super dificil esto de sacar alturas

  9. Fernanda dice:

    m tarea estubo bien entonces se ignifica que esta pagina dice verdad

  10. geraldyne dice:

    No me sale la altura de triángulo escaleno

  11. NORMA MARTINEZ dice:

    ES ALGO INTERESANTE PERO LA VERDAD EN EL MOMENTO DE ESTAR ESCRIVIENDO MI COMENTARIO ME DICE PORFAVORCOMFIRMA QUE ERES UMANO ANTES DE COMENTAR QUE LES PASA

  12. Jesús dice:

    TrianCal.esy.es Es una calculadora de triángulos online para poder comprobar si habéis realizado los cálculos correctctamente e incluso poder calcular triángulos con datos poco corrientes como:
    -3 alturas.
    -2 alturas y el perímetro.
    -1 lado, 1 altura y 1 ángulo
    -2 ángulos y la altura
    -área, altura y perímetro
    y cualquier combinación de tres valores

  13. ezequiel dice:

    que queres que pongp cono

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