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Límites indeterminados (indeterminaciones)

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Los límites indeterminados (o indeterminaciones) no indican que el límite no exista, sino que no se puede anticipar el resultado.

Se tendrán que hacer operaciones adicionales para eliminar la indeterminación y averiguar entonces el valor del límite (en el caso de que exista). Ese valor puede ser un número finito, incluido el cero, o +∞ o bien -∞.

Aparecen indeterminaciones cuando, al sustituir la variable (x) de la expresión por el valor del límite al que tiende ésta, se convierte en uno de los casos siguientes:


Dibujo de los tipos de indeterminaciones

Pero no serán indeterminaciones cuando, al realizar la sustitución mencionada de la variable por el valor de su límite, aparecen resultados como estos, siendo m un valor finito diferente de cero:


Dibujo de tipos que no son indeterminaciones

El siguiente límite, por ejemplo, es indeterminado:


Ejemplo de un límite indeterminado

Por elcontrario, este límite no tiene indeterminación:


Ejemplo de un límite no indeterminado

Límites indeterminados infinito partido por infinito

La indeterminación ∞ / ∞ se puede resolver dividiendo el numerador y el denominador por el mayor grado de la variable.

Pueden haber tres casos de este tipo de límites indeterminados:

  1. Que el mayor grado en el numerador sea mayor que el mayor grado del denominador. En este caso, el límite es o +∞ o -∞.


    Ejemplo del caso 1 en los límites indeterminados infinito partido por infinito

    Como se ve en la imagen:


    Grafica del ejemplo del caso 1 en los límites indeterminados infinito partido por infinito

  2. Que el mayor grado en el numerador sea igual que el del denominador. La solución es el cociente entre los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador y del denominador:


    Ejemplo del caso 2 en los límites indeterminados infinito partido por infinito

    Como se ve en la imagen:


    Grafica del ejemplo del caso 2 en los límites indeterminados infinito partido por infinito

  3. El tercer caso es que el mayor grado en el numerador sea menor que el del denominador. En este caso, el límite es cero.


    Ejemplo del caso 3 en los límites indeterminados infinito partido por infinito

    Como se ve en la imagen:


    Grafica del ejemplo del caso 3 en los límites indeterminados infinito partido por infinito

Los límites indeterminados del siguiente tipo requieren la aplicación de la regla de L’Hôpital:


Ejemplo utilizando la regla de l'Hôpital en los límites indeterminados infinito partido por infinito

Al existir sus derivadas, aplicamos L’Hôpital, derivando numerador y denominador:


Cálculo derivando utilizando la regla de l'Hôpital en los límites indeterminados infinito partido por infinito

Como se llega a la misma indeterminación, aplicamos por segunda vez la regla de L’Hôpital. Derivamos, resolvemos y hallamos el límite:


Cálculo derivando 2 utilizando la regla de l'Hôpital en los límites indeterminados infinito partido por infinito

Como se ve en la gráfica:


Gráfica del ejemplo utilizando la regla de l'Hôpital en los límites indeterminados infinito partido por infinito

Límites indeterminados infininito menos infinito

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En los límites indeterminados del tipo ∞ – ∞ suelen ser del tipo f(x) – g(x), es decir, la resta de dos funciones.

Tratamos de ver si uno de los términos infinitos es de un orden mayor.

Una potencia de mayor exponente será el término mayor (x4 > x2).

El término mayor de un polinomio es mayor que un logaritmo (x2 > ln x3).

Entre dos funciones exponenciales, la mayor será la que lo sea su base (5x > 4x).

Por tanto, si en una indeterminación ∞ – ∞ uno de los dos términos es de orden mayor, el límite será ± ∞ (el signo lo determinará si el término de orden mayor es el minuendo o el sustraendo.

Veámoslo en los casos anteriores:


Ejemplos en los límites indeterminados infinito menos infinito

Pero si el orden de los dos términos fuera el mismo, habría que realizar otro procedimiento.

Veamos un ejemplo con términos del mismo orden (en este caso el orden es 1). Reducimos a común denominador y simplificamos:


Ejemplo con el mismo grado en los límites indeterminados infinito menos infinito

Como se ve en la figura, el límite es 0, tanto si la x tiende a +∞ como si tiende a -∞.


Gráfica en el ejemplo con el mismo grado en los límites indeterminados infinito menos infinito

Otros casos requieren realizar otros pasos, como el seguiente en que, al haber un radical, se debe multiplicar y dividir por el término conjugado.

En este caso el límite es a +∞, porque un infinito negativo en una raíz cuadrada sería irracional.

Por las reglas del orden de los términos, podemos anticipar que el límite va a ser +∞, porque el orden del primer término es 1 y el orden del segundo término es ½ al estar encerrada la x en una raíz cuadrada. Pero vamos a operar como hemos dicho, multiplicando y dividiendo por su término conjugado.


Ejemplo con una raíz cuadrada en los límites indeterminados infinito menos infinito

Hemos llegado a un límite indeterminado infinito partido por infinito, ∞/∞, que se resuelve dividiendo numerador y denominador por el término de mayor exponente.


Ejemplo con una raíz cuadrada 2 en los límites indeterminados infinito menos infinito

Como vemos en la siguiente gráfica:


Gráfica del ejemplo con una raíz cuadrada en los límites indeterminados infinito menos infinito

Con lo que se ha eliminado la indeterminación del límite llegando al valor de +∞ como habíamos anticipado.

Otros límites indeterminados del mismo tipo, ∞ – ∞ se pueden resolver aplicando la regla de L’Hôpital. Como éste:


Ejemplo de la regla de l'Hôpital en los límites indeterminados infinito menos infinito

Al sustituir el valor 0 del límite en la x llegamos a una indeterminación ∞ – ∞. En primer lugar, mediante el común denominador, transformamos la expresión de una resta a un cociente:


Ejemplo de la regla de l'Hôpital 2 en los límites indeterminados infinito menos infinito

Al volver a sustituir 0 por x, se ha transformado en un límite indeterminado de la forma 0/0. Podemos aplicar ahora la regla de L’Hôpital, derivando por separado el numerador y el denominador:


Ejemplo de la regla de l'Hôpital 3 en los límites indeterminados infinito menos infinito

Como vuelve a aparecer otro límite indeterminado 0/0 al reemplazar de nuevo la x, se aplica otra vez la regla de L’Hôpital y se resuelve el límite:


Ejemplo de la regla de l'Hôpital 4 en los límites indeterminados infinito menos infinito

Como se ve en la figura, el valor del límite es cero:


Gráfica del ejemplo con la regla de l'Hôpital en los límites indeterminados infinito menos infinito

Límites indeterminados cero partido por cero

Los límites indeterminados cero partido por cero en funciones racionales se pueden resolver descomponiendo en factores y simplificando. También, especialmente cuando hay raíces, multiplicando y dividiendo por el binomio conjugado del término que tenga la raíz.

Veamos los dos casos:

El límite de una fracción de funciones racionales que dé una indeterminación del tipo 0/0 se resolverá descomponiendo en factores el numerador y el denominador. Después, simplificar y resolver:


Funciones del ejemplo 1 en los límites indeterminados cero partido por cero

Como se ve en la figura:


Gráfica del ejemplo 1 en los límites indeterminados cero partido por cero

Otro ejemplo de descomposición en factores similar al anterior:


Funciones del ejemplo 2 en los límites indeterminados cero partido por cero

Como se ve en la figura:


Gráfica del ejemplo 2 en los límites indeterminados cero partido por cero

El otro caso es cuando tenemos límites indeterminados 0/0 en funciones irracionales, con radicales. Se podría resolver multiplicando y dividiendo numerador y denominador por el binomio conjugado del término en donde esté la raíz.

Veamos un ejemplo:


Funciones del ejemplo 3 en los límites indeterminados cero partido por cero

Como se ve en la gráfica:


Gráfica del ejemplo 3 en los límites indeterminados cero partido por cero

Este de abajo es un límite indeterminado que se resuelve aplicando la regla de L’Hôpital:


Funciones del ejemplo 4 en los límites indeterminados cero partido por cero

Son derivables numerador y denominador. Por tanto, derivamos y resolvemos:


Cálculo aplicando la regla de l'Hôpital del ejemplo 4 en los límites indeterminados cero partido por cero

Como vemos en la siguiente gráfica:


Gráfica del ejemplo 4 en los límites indeterminados cero partido por cero

Límites indeterminados constante partido por cero

Un número real dividido por cero en aritmética es una operación que no arroja un resultado definido. En cambio, en cálculo, si el límite de una expresión llega a un número entre cero (k / 0), tendremos un caso que podríamos calificar como indeterminación que sí que podría ser resuelta.

Ese límite puede ser +∞, -∞ o, simplemente, no existir un límite.

Veremos en los ejemplos expuestos, que en los límites en los que se llega a k / 0 (donde k es una constante), el valor al que tiende la x no existe en el dominio de la función. La función no está definida en ese punto.

La operativa es comprobar los límites laterales. Si nos acercamos mucho al límite por la izquierda, y, a su vez, al límite por la derecha, veremos que en el numerador tenemos un número, positivo o negativo y en el denominador un número cada vez más próximo a cero, que puede también ser positivo o negativo. Según los signos el resultado de ambos límites laterales puede ser +∞ o -∞. Si ambos límites laterales coinciden, el límite existe (esta es una condición necesaria para la existencia de cualquier límite en un punto).

Al contrario, si uno de los límites laterales da +∞ y el otro -∞, el límite no existe.

Este último sería el caso de las asíntotas verticales divergentes.

Límites indeterminados cero por infinito

Usualmente ocurren en el producto de funciones del tipo:


Funciones en los límites indeterminados cero por infinito

Habitualmente, pueden resolverse operando, factorizando, simplificando y resolviendo.


Operaciones del ejemplo 1 en los límites indeterminados cero por infinito

Las raíces del primer polinomio son (+4, -1).

Operamos:


Operaciones 2 del ejemplo 1 en los límites indeterminados cero por infinito

Como se ve en la figura:


Gráfica del ejemplo 1 en los límites indeterminados cero por infinito

Otro caso es:


Funciones del ejemplo 1 en los límites indeterminados cero por infinito

En un primer paso, se introduce el primer término dentro del radical, convirtiéndose en otro tipo de indeterminación. Operamos:


Operaciones 1 del ejemplo 2 en los límites indeterminados cero por infinito

Dividimos por el término de mayor potencia y resolvemos:


Operaciones 2 del ejemplo 2 en los límites indeterminados cero por infinito

Como se ve en la figura:


Gráfica del ejemplo 2 en los límites indeterminados cero por infinito

Otro tipo de límites con indeterminación 0 · ∞ requieren de la aplicación de la regla de L’Hôpital. Este es un caso:


Operaciones 1 del ejemplo 3 en los límites indeterminados cero por infinito

Para aplicar la regla de L’Hôpital se necesita convertir la expresión en un cociente para llegar a una indeterminación ∞/∞ o 0/0, por lo que se hace la transformación:


Operaciones 2 del ejemplo 3 en los límites indeterminados cero por infinito

Se ha llegado a otro límite indeterminado 0/0, al que se le puede aplicar la regla de L’Hôpital, derivando numerador y denominador por separado y obteniendo el límite buscado:


Operaciones 3 del ejemplo 3 en los límites indeterminados cero por infinito

Como se ve en la grafica:


Gráfica del ejemplo 3 en los límites indeterminados cero por infinito

Límites indeterminados uno elevado a infinito

Se refieren a casos de función potencial exponencial, donde tanto la base como el exponente son funciones. En general, los límites exponenciales indeterminados de los tres tipos, 1, 0 y 00, que se resuelven aplicando en primer lugar esta transformación:


Funciones en los límites indeterminados uno elevado a infinito

Puesto que la potencia y el logaritmo de la misma base que la potencia se anulan entre sí por ser funciones inversas.

En cualquier límite exponencial indeterminado, según lo que se acaba de decir, podemos hacer:


Transformación 1 en los límites indeterminados uno elevado a infinito

Por una de las propiedades de los límites: el límite de un logaritmo es el logaritmo del límite:


Transformación 2 en los límites indeterminados uno elevado a infinito

Por una de las propiedades de los logaritmos, el logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base:


Transformación 3 en los límites indeterminados uno elevado a infinito

Por comodidad, podemos llamar al límite del exponente de este tipo de expresiones: L. Como se ha dicho, la transformación descrita es aplicable a los tres tipos de límites exponenciales indeterminados.

La transformación, a la que llamaremos (1), queda:


Transformación final (1) en los límites indeterminados uno elevado a infinito

Los límites indeterminados del tipo 1 son los límites exponenciales en los que la base tiende a 1 y el exponente tiende a ∞.

Son de los llamados límites del tipo e.


Límites del tipo e en los límites indeterminados uno elevado a infinito

Para resolver límites indeterminados, en concreto del tipo 1, se puede aplicar la propiedad siguiente:


Propiedad 1 en los límites indeterminados uno elevado a infinito

Retengamos esta propiedad, porque es muy útil para resolver estos límites exponenciales.

Límites indeterminados infinito elevado a cero

Se refieren a casos de función potencial exponencial, donde tanto la base como el exponente son funciones. En general, los límites exponenciales indeterminados de los tres tipos, 1, 0 y 00 se resuelven aplicando en primer lugar esta transformación (1):


Primera transformación en los límites indeterminados infinito elevado a cero

Se verifica, puesto que la potencia y el logaritmo de la misma base que la potencia se anulan entre sí por ser funciones inversas.

En cualquier límite exponencial indeterminado, por tanto, podemos hacer:


Segunda transformación en los límites indeterminados infinito elevado a cero

Por una de las propiedades de los límites, el límite de un logaritmo es el logaritmo del límite:


Propiedad de los límites en los límites indeterminados infinito elevado a cero

Por otra de las propiedades de los logaritmos, el logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base:


Propiedad 2 de los límites en los límites indeterminados infinito elevado a cero

Por comodidad, podemos llamar al límite del exponente: L. Como se ha dicho, la transformación descrita es aplicable a los tres tipos de límites exponenciales indeterminados.

En total, la transformación, que llamaremos (1), queda:


Transformación total en los límites indeterminados infinito elevado a cero

Límites indeterminados cero elevado a cero

Se refieren a casos de función potencial exponencial, donde tanto la base como el exponente son funciones. En general, los límites exponenciales indeterminados son de estos tres tipos: 00, 1 y 0 se resuelven aplicando en primer lugar esta transformación:


Transformación 1 en los límites indeterminados cero elevado a cero

Se verifica, puesto que la potencia y el logaritmo de la misma base que la potencia se anulan entre sí por ser funciones inversas.

En cualquier límite exponencial indeterminado, por tanto, podemos hacer:


Transformación 2 en los límites indeterminados cero elevado a cero

Por una de las propiedades de los límites: el límite de un logaritmo es el logaritmo del límite.


Transformación 3 en los límites indeterminados cero elevado a cero

Por una de las propiedades de los logaritmos, el logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.


Transformación 4 en los límites indeterminados cero elevado a cero

Por comodidad, podemos llamar al límite del exponente: L. Como se ha dicho, la transformación descrita es aplicable a los tres tipos de límites exponenciales indeterminados.

En total, la transformación, que llamaremos (1), queda:


Transformación final 1 en los límites indeterminados cero elevado a cero

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