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Límites indeterminados constante partido por cero

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Un número real dividido por cero en aritmética es una operación que no arroja un resultado definido. En cambio, en cálculo, si el límite de una expresión llega a un número entre cero (k / 0), tendremos un caso que podríamos calificar como indeterminación que sí que podría ser resuelta.

Ese límite puede ser +∞, -∞ o, simplemente, no existir un límite.

Veremos en los ejemplos expuestos, que en los límites en los que se llega a k / 0 (donde k es una constante), el valor al que tiende la x no existe en el dominio de la función. La función no está definida en ese punto.

La operativa es comprobar los límites laterales. Si nos acercamos mucho al límite por la izquierda, y, a su vez, al límite por la derecha, veremos que en el numerador tenemos un número, positivo o negativo y en el denominador un número cada vez más próximo a cero, que puede también ser positivo o negativo. Según los signos el resultado de ambos límites laterales puede ser +∞ o -∞. Si ambos límites laterales coinciden, el límite existe (esta es una condición necesaria para la existencia de cualquier límite en un punto).

Al contrario, si uno de los límites laterales da +∞ y el otro -∞, el límite no existe.

Este último sería el caso de las asíntotas verticales divergentes.

Ejercicios

Ejercicio 1

Veamos un ejemplo de límites indeterminados constante partido por cero, de un límite que llega a una indeterminación de un número dividido por cero:


Funciones del ejemplo 1 en los límites indeterminados constante partido cero

El primer paso en la resolución de todo límite es substituir el valor al que tiende la x en la x, que en este caso resulta:


Cálculos sustituyendo x del ejemplo 1 en los límites indeterminados constante partido cero

Que es una indeterminación del tipo k / 0.

Para resolverla tenemos que averiguar sus límites laterales para ver si coinciden. Empezamos por el límite por la izquierda, dando valores a la x sucesivamente próximos al valor 3 por la izquierda, es decir menores que 3. En la tabla vemos qué valores va tomando el numerador y el denominador de la función:


Tabla del límite por la izquierda del ejemplo 1 en los límites indeterminados constante partido cero

El numerador va acercándose a 6 y siempre es positivo. Lo importante es que es un número real al que podemos llamarle “6”. Pero el denominador va siendo un número cada vez más pequeño, cada vez más próximo a 0, pero negativo. Le llamaremos 0 (0 negativo).

Queda claro que este límite por la izquierda, un número, el 6, dividido por un número muy pequeño, muy cercano al 0 y negativo, tiende a -∞.


Cálculo del límite por la izquierda del ejemplo 1 en los límites indeterminados constante partido cero

El mismo razonamiento lo haremos para determinar el límite por la derecha. Damos valores a la x cada vez más próximos al valor 3, pero por la derecha, cada vez más próximos a 3 aunque siempre mayores que 3.

Por el mismo proceso llegaremos a una división entre un número muy próximo al 6 y positivo, dividido por un número muy pequeño, muy cercano al 0 y también positivo.

Por lo tanto, el límite por la derecha tiende a +∞.


Cálculo del límite por la derecha del ejemplo 1 en los límites indeterminados constante partido cero

Como los dos límites laterales no son iguales, el límite no existe.


Cálculo de la no existencia de límite del ejemplo 1 en los límites indeterminados constante partido cero

Como puede verse en la figura:


Gráfica del ejemplo 1 en los límites indeterminados constante partido cero

Ejercicio 2

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Otro caso en el que se llega a una indeterminación k / 0:


Funciones del ejemplo 2 en los límites indeterminados constante partido cero

Repetimos el proceso anterior, hallando los dos límites laterales a base de acercarnos con la x a 0 por la izquierda y por la derecha.

En el numerador tendremos un número positivo al que llamaremos 6. En el denominador aparecerá, tanto si nos acercamos por la izquierda como por la derecha, un número muy próximo a 0 y positivo, porque, cuando la x se acerca a 0 por la izquierda, aparece un número muy pequeño y negativo, al elevarlo al cuadrado se convertirá en un número más pequeño todavía pero positivo.

Igualmente ocurre también con el denominador cuando nos acercamos a 0 pero esta vez por la derecha. Un número muy pequeño y también positivo.

Dos límites laterales iguales: numero positivo (6) dividido por 0+ resulta un límite +∞.


Cálculo del límite del ejemplo 2 en los límites indeterminados constante partido cero

Como se ve en la figura:


Gráfica del ejemplo 2 en los límites indeterminados constante partido cero

Ejercicio 3

Para ver los tres casos completos, veamos el límite de la siguiente función:


Funciones del ejemplo 3 en los límites indeterminados constante partido cero

Volvemos a repetir el proceso anterior, hallando los dos límites laterales a base de acercarnos con la x a 0 por la izquierda y por la derecha.

En el numerador tendremos un número negativo al que llamaremos -6. En el denominador aparecerá, tanto si nos acercamos por la izquierda como por la derecha, un número muy próximo a 0 y positivo, porque, cuando la x se acerca a 0 por la izquierda, aparece un número muy pequeño y negativo, al elevarlo al cuadrado se convertirá en un número más pequeño todavía pero positivo.

Igualmente ocurre también con el denominador cuando nos acercamos a 0 pero esta vez por la derecha. Un número muy pequeño y también positivo.

Dos límites laterales iguales: numero negativo (-6) dividido por 0+ resulta un límite -∞.


Cálculo del límite del ejemplo 3 en los límites indeterminados constante partido cero

Como se ve en la gráfica:


Gráfica del ejemplo 3 en los límites indeterminados constante partido cero

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