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Límites indeterminados cero elevado a cero

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Se refieren a casos de función potencial exponencial, donde tanto la base como el exponente son funciones. En general, los límites exponenciales indeterminados son de estos tres tipos: 00, 1 y 0 se resuelven aplicando en primer lugar esta transformación:


Transformación 1 en los límites indeterminados cero elevado a cero

Se verifica, puesto que la potencia y el logaritmo de la misma base que la potencia se anulan entre sí por ser funciones inversas.

En cualquier límite exponencial indeterminado, por tanto, podemos hacer:


Transformación 2 en los límites indeterminados cero elevado a cero

Por una de las propiedades de los límites: el límite de un logaritmo es el logaritmo del límite.


Transformación 3 en los límites indeterminados cero elevado a cero

Por una de las propiedades de los logaritmos, el logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.


Transformación 4 en los límites indeterminados cero elevado a cero

Por comodidad, podemos llamar al límite del exponente: L. Como se ha dicho, la transformación descrita es aplicable a los tres tipos de límites exponenciales indeterminados.

En total, la transformación, que llamaremos (1), queda:


Transformación final 1 en los límites indeterminados cero elevado a cero

Ejercicio

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Veamos un ejemplo de los límites indeterminados cero elevado a cero.

Por una de las propiedades de los límites: el límite de una potencia es la potencia del límite. Y substituyendo el valor del límite en la x, se ve, en este caso, que:


Propiedad 1 del ejemplo 1 en los límites indeterminados cero elevado a cero

Es una indeterminación exponencial, por lo que se puede aplicar directamente la transformación (1).


Cálculo con la transformación (1) del ejemplo 1 en los límites indeterminados cero elevado a cero

Vamos a centrarnos en el exponente, el límite L.


Cálculo del exponente del ejemplo 1 en los límites indeterminados cero elevado a cero

Para llegar a una indeterminación en forma de cociente, pasaremos el primer factor, invirtiéndolo, al denominador, y poder aplicar la regla de L’Hôpital:


Cálculo 1 utilizando la regla de l'Hôpital del ejemplo 1 en los límites indeterminados cero elevado a cero

Llegados a esta segunda indeterminación, transformaremos la fracción y aplicaremos de nuevo la regla de L’Hôpital, y resolvemos:


Cálculo 2 utilizando la regla de l'Hôpital del ejemplo 1 en los límites indeterminados cero elevado a cero

El límite obtenido es L = 0. Pero recordemos que L era el exponente de base e del límite buscado en el ejercicio. Por lo que el límite definitivo será 1:


Resultado del ejemplo 1 en los límites indeterminados cero elevado a cero

Lo vemos gráficamente:


Gráfica del ejemplo 1 en los límites indeterminados cero elevado a cero

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