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Límites de funciones definidas a trozos

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Los límites de las funciones definidas a trozos requieren conocer en qué consisten este tipo de funciones.

Las funciones definidas a trozos (o función a trozos o función por partes) son aquellas que tienen distintas expresiones o fórmulas dependiendo del intervalo (o trozo) en el que se encuentre la variable independiente (x).

Ejercicios

Ejercicio 1

Por ejemplo:


Función y gráfica en el ejemplo 1 de límites de funciones definidas a trozos

En el cálculo de límites hay una serie de procedimientos adecuados a cada caso. Pero en una función definida a trozos, hay que saber en cuál de los trozos o tramos está el valor al que tiende la variable independiente (x → a). Especialmente hay que ver si a se encuentra en el punto entre dos trozos (o punto de ruptura).

De la función del ejemplo anterior, vamos a hallar los límites correspondientes a diferentes valores.

Para valores de x < 1, por ejemplo a = -1.

Como -1 está en el primer trozo, sustituimos en la x de la primera expresión analítica de la función el valor de -1:


Cálculo de f en -1 en el primer trozo, del ejemplo 1 de límites de funciones definidas a trozos

Ahora el valor del límite de esta función cuando x → 1. Como el valor 1 de la variable se encuentra en un punto de ruptura, es decir, entre dos trozos de la función, deberemos hallar sus límites laterales.

En primer lugar, el límite lateral, cuando x se acerca al punto de ruptura 1 por su izquierda.

Sustituimos el valor 1 en la expresión analítica del primer trozo, que es el que se encuentra a la izquierda de x = 1:


Cálculo del límite por la izquierda en 1 en el primer trozo, del ejemplo 1 de límites de funciones definidas a trozos

El límite por la izquierda en este punto es 1.

Hallamos el límite lateral por la derecha para el punto de ruptura 1:


Cálculo del límite por la derecha en 1 en el primer trozo, del ejemplo 1 de límites de funciones definidas a trozos

El límite por la derecha en este punto es 2.

Como los dos límites laterales son diferentes, el límite de esta función cuando x → 1 no existe.


Cálculo de no existencia del límite en 1 en el primer trozo, del ejemplo 1 de límites de funciones definidas a trozos

Vamos a dejar los límites de otros puntos, por evidentes, y vamos a hallar, por el mismo procedimiento el límite en el segundo punto de ruptura (para x = 4), es decir, entre dos trozos. Para ello, haremos lo mismo calculando sus límites laterales.

Límite lateral por la izquierda:


Cálculo del límite por la izquierda en 4 en el primer trozo, del ejemplo 1 de límites de funciones definidas a trozos

El límite lateral por la izquierda en este punto de ruptura es 2.

Hallamos el límite lateral por la derecha para el punto de ruptura 4:


Cálculo del límite por la derecha en 4 en el primer trozo, del ejemplo 1 de límites de funciones definidas a trozos

El límite por la derecha en este punto es 1.

Como los dos límites laterales son diferentes, el límite de esta función cuando x → 4 tampoco existe.


Cálculo de no existencia del límite en 4 en el primer trozo, del ejemplo 1 de límites de funciones definidas a trozos

Ejercicio 2

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Estudiemos los límites de otra función definida a trozos:


Función del ejemplo 2 de límites de funciones definidas a trozos

De los dos trozos, estudiaremos su límite en su punto de ruptura. Cuando x → -2.

En estos casos, siempre se han de hallar sus límites laterales.

En primer lugar, el límite lateral por la izquierda:


Cálculo del límite lateral por la izquierda en -2 del ejemplo 2 de límites de funciones definidas a trozos

Después, el límite lateral por la derecha:


Cálculo del límite lateral por la derecha en -2 del ejemplo 2 de límites de funciones definidas a trozos

Como los dos límites laterales coinciden, el límite de esta función definida a trozos en su punto de ruptura existe y su valor es -4.


Cálculo del límite en -2 del ejemplo 2 de límites de funciones definidas a trozos

Como se ve en la gráfica:


Gráfica del ejemplo 2 de límites de funciones definidas a trozos

Aunque en este caso, el límite en el punto de ruptura, x = -2, no coincide con f(-2), puesto que, en este caso, esta imagen no existe en la función:


Cálculo de la no existencia de imagen en -2 del ejemplo 2 de límites de funciones definidas a trozos

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