El límite de una sucesión numérica { an } en muchos de los casos existe. Es cuando sus términos van aproximándose a un valor L. Y a éste valor se le denomina límite.
Los límites de las sucesiones se calculan siempre en el infinito.
Aunque no todas las sucesiones tienen límite.
A las sucesiones que tienen límite finito se les denomina sucesiones convergentes.
Se escribe:
El límite de { an } es L.
Una sucesión { an } tiende a un valor numérico L, cuando los términos de la sucesión an se aproximan a L tanto como se desee, para todos los lugares n de la sucesión a partir de un lugar arbitrario N tan grande como se quiera.
Dicho de otra manera, en una sucesión numérica { an }, para que L sea su límite, a todo ε > 0 debe existir un entero natural N tal que si n≥N, entonces |an – L | < ε.
Ejemplos de límites de sucesiones convergentes:
Siendo e un número irracional, base de los logaritmos neperianos, e importantísimo en matemáticas, cálculo financiero, etc. Sus primeras cifras son, e = 2,7182818284…
Esta es una representación gráfica de una sucesión convergente.
Una sucesión divergente tiende al infinito.
La sucesión de los números naturales tiende a +∞.
1, 2, 3, 4,…, 100.000,…
Y la sucesión de los números pares negativos tiende a -∞:
-2, -4, -6, -8, …, -100.000,…
Una sucesión oscilante no es convergente ni divergente. Alterna valores positivos y negativos.
Como esta sucesión de los múltiplos de 3 en que se alternan los signos:
Propiedades de los límites de las sucesiones
Sean estos los límites de dos sucesiones:
Entonces se cumple que:
- Límite de la suma:
- Límite de la resta:
- Límite del producto:
- Límite del cociente:
- Límite de una expresión exponencial:
- Límite de una exponencial:
- Límite del producto por una constante:
Cálculo del límite de una sucesión
En un primer paso, sustituimos en { an }; en n por ∞.
Per si esta sustitución nos lleva a una indeterminación del tipo:
Resolveremos cada indeterminación mediante transformaciones algebraicas, empleando las propiedades de los límites, mediante la regla de L’Hôpital o por límites equivalentes.
Ejercicio
Calcular el límite de la siguiente sucesión.
En esta sucesión, sustituimos n por ∞.
La indeterminación ∞/∞ la resolvemos dividiendo el numerador y el denominador por la n con el exponente mayor:
muy buena la explicacion, gracias