Función exponencial

Función exponencial

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Una función exponencial es aquella en que la variable independiente x aparece en el exponente y tiene de base una constante a. Su expresión es:

Expresión general de una función exponencial.

Siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.

Cuando 0 < a < 1, entonces la función exponencial es una función decreciente y cuando a > 1, es una función creciente.

Dibujo de la gráfica de una función exponencial.

La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica.

Dibujo de la gráfica de una función exponencial como inversa de la función logarítmica

Y, cuando 0 < a < 1:

Dibujo de la gráfica de una función exponencial como inversa de la función logarítmica con a menor que 1

Características

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  • Dominio: Dominio de la función exponencial.

    El dominio son todos los números reales.

  • Recorrido: Recorrido de la función exponencial.

    El recorrido son todos los números reales positivos.

  • Derivada de la función exponencial: Derivada de la función exponencial.

    En el caso particular en el que a sea igual al número irracional e (e = 2,7182818…), a esta forma de función potencial f(x) = ex se denomina función exponencial natural y se puede escribir también así: f(x) = exp(x). La derivada de la función f(x) = ex es ella misma. Es la única función que cumple esta propiedad.

  • Integral de la función exponencial: Integral de la función exponencial.
  • Todas las funciones exponenciales son continuas.
  • Todas son también cóncavas.
  • Si a es mayor que 1 (a > 1), la función es creciente. En cambio, si a es menor que 1 (a < 1), la función es decreciente.
    Dibujo de la función exponencial según si es creciente o decreciente.
  • La imagen de 0 siempre es 1 y la imagen de 1 es a.
    Imágenes de 0 y uno mediante una función exponencial.

    Así pues, las funciones exponenciales siempre pasan por los puntos (0 , 1) y (1 , a).

    Gráfica de una función exponencial pasando por (0,1) y (1,a).
  • La función exponencial es inyectiva.

Propiedades

Todas las funciones exponenciales cumplen las siguientes propiedades:

Propiedades de las funciones exponenciales

Ejercicio

Sea la función exponencial con a = 2, definida por la función:

Expresión de un ejemplo de función exponencial.
Dibujo de la gráfica de un ejemplo de función exponencial.

La función es continua en todos los números reales.

Como a = 2 > 1, la función es creciente.

La gráfica de la función pasa por los puntos (0 , 1) y (1 , 2).

Para completar la gráfica, obtenemos más puntos:

Puntos en el ejercicio 1

Y se reflejan en la gráfica:

Dibujo 2 de la gráfica en el ejercicio 1

AUTOR: Bernat Requena Serra


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22 comentarios en “Función exponencial”

    1. En el ejemplo donde x=2, al tomar más datos para completar la grafica , las columnas están cambiadas y repetiste los valores 1 y 2

    1. Tienes razón en tus comentarios y el segundo gráfico está perfectamente. Puede ser creciente o decreciente, según el valor de a (si a >1 o 0 < a < 1). El dominio es R y el codominio o recorrido, 0, + ∞.

    2. ooh yo tambien me saque un uno 77. pagina ql mala te apoyo pablo jorquera
      oye negro pepe anda a acostarte

    3. Aarón Dávila Gutiérrez

      xd x2 compa pero no por culpa de ellos (bueno en verdad si la información de la caracteristicas esta mal xddd (no enserio arreglenlo muchísimo más de la mitad esta re mal))

    4. El gráfico es correcto. Toma valores negativos la función logarítmica, que es su función inversa y simétrica respecto a y = x

    1. Universo Formulas

      Tienes razón Felipe, lo teníamos sin actualizar. Ya está corregido.
      Muchas gracias por la corrección.

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