Función cuadrática

Una función cuadrática (o función de segundo grado) es una función polinómica de grado 2, es decir, el mayor exponente del polinomio es x elevado a 2 (x²).

Su forma estándar es:

Son a, b y c escalares, valores constantes o denominados, que también se denominan los coeficientes de la función.

Su representación gráfica es una parábola vertical.

Existen dos elementos fundamentales en la parábola que definen como es esta:

1. El eje de simetría, que es una recta vertical que parte la parábola en dos ramas iguales.
2. El vértice: es el punto de intersección de la parábola con el eje de simetría.

Si el escalar a > 0, la parábola se abre hacia arriba y el vértice es el mínimo de la función. En cambio, si a < 0, la parábola se abre hacia abajo y el vértice es el máximo de la función.

Cuanto mayor sea el valor absoluto de a, |a|, más juntas estarán las ramas de la parábola.

Una función cuadrática puede tener dos raíces reales, una o ninguna raíz real (en este caso serán dos raíces imaginarias). Las raíces de una función son los elementos del dominio tal que su imagen es nula (f(x) = 0). Dicho de otra manera, las raíces son los puntos donde la gráfica de la función corta el eje x.

Una ecuación cuadrática o de segundo orden es cuando la función cuadrática se iguala a cero: f(x) = y = 0. Tiene la forma:

La fórmula para el cálculo de las raíces de una ecuación cuadrática es:

Al contenido comprendido dentro del radical de esta fórmula se le llama discriminante y se representa así:

Se puede también expresar la ecuación cuadrática, en función de sus raíces y del escalar a, de esta manera, por factorización:

La ecuación de la recta del eje de simetría, por el mismo concepto de la simetría, se puede hallar con la media aritmética de los puntos de corte con el eje x, es decir, la media aritmética de sus raíces:

Traslación horizontal

Cuando se cumple que a > 0 y b > 0 o, también, que a < 0 y b < 0, en ambos casos, el eje de simetría se encuentra a la izquierda del eje y.

Cuando se cumple que a > 0 y b < 0 o, también, que a < 0 y b > 0, en ambos casos, el eje de simetría se encuentra a la derecha del eje y.

Si el valor del escalar b = 0, el eje de simetría coincide con el eje y.

Estos casos se ven en esta figura:

Relación entre las raíces de la función cuadrática y los coeficientes

La suma de las raíces s es:

El producto de las raíces p es:

Esto permite escribir la ecuación cuadrática, conociendo sus raíces:

De manera factorizada, similar a como hemos visto antes:

Intersecciones o puntos de corte

Las intersecciones son los puntos en los que la función corta los ejes y y x.

La intersección con el eje y de una función cuadrática se produce cuando hacemos x = 0. Es siempre el punto (0, c). Si la función es incompleta y no existe el parámetro c (es decir, c = 0), la intersección será el punto (0, 0).

La intersección con el eje x de una función cuadrática son las raíces x₁ y x₂ de la misma. Se producen cuando hacemos y = 0. Como se ha dicho más arriba y dependiendo del discriminante Δ, pueden haber dos o una raíces reales, o en el caso de que Δ < 0 entonces son raíces complejas.

Características de la función cuadrática

Siendo f(x) = ax²+bx+c, entonces tenemos que:

• Dominio:
• Codominio:
• Derivada de la función cuadrática:
• Integral de la función cuadrática:

Función cuadrática completa f(x) = ax²+bx+c

En este caso, los tres escalares son distintos de 0 (a ≠ 0, b ≠ 0 y c ≠ 0). Se denomina ecuación cuadrática completa.

El eje de simetría es la recta de la ecuación:

El vértice de la parábola es:

Función cuadrática incompleta del tipo f(x) = ax²+c

El escalar b = 0 y los otros dos son diferentes de 0, a ≠ 0 y c ≠ 0.

El eje de simetría coincide con el eje Y:

El vértice es:

En el caso de que c = 0, el vértice será el origen de coordenadas (0,0).

Función cuadrática incompleta del tipo f(x) = ax²+bx

Por último, tenemos el caso en el que el escalar c = 0 y los otros dos son diferentes de 0, a ≠ 0 y b ≠ 0.

El eje de simetría viene definido igualmente por la fórmula:

El vértice será:

Su gráfica tiene la misma forma que la de f(x) = ax² pero desplazada por la suma de bx.

Ejercicios

Ejercicio 1

Dada la función cuadrática f(x) = -2x² – 4x + 6:

a) Hallar la ecuación de su eje de simetría.

b) Las coordenadas de su vértice.

c) Comprobar si la gráfica se abre hacia arriba o hacia abajo.

d) El punto de corte con el eje y.

e) Las raíces reales de la función (si las tuviere).

Solución:

a) Aplicamos la fórmula del eje de simetría:

b) Ahora las fórmulas de las coordenadas del vértice:

c) Como el parámetro a es negativo (es menor que 0), entonces la gráfica se abre hacia abajo y el vértice es un máximo de la función.

d) El punto de corte o intersección con el eje y se obtiene cuando x = 0:

e) Para ver si tiene raíces reales y si son una o dos, vemos primero el discriminante:

Luego tiene dos raíces reales. Aplicamos la fórmula general:

Y las raíces son -3 y 1.

Ejercicio 2

Averiguar dos números impares negativos y consecutivos tales que si sumamos los cuadrados de los mismos obtenemos un resultado de 130.

Solución:

Según el enunciado, los dos números los podemos expresar así:

Ahora plasmamos la condición de la suma de sus cuadrados:

Desarrollamos y simplificamos, quedándonos una ecuación cuadrática o de segundo grado:

Aplicamos la fórmula para el cálculo de esta ecuación cuadrática:

Como se buscan números negativos, la raíz que se debe de tomar es la negativa -9.

Por lo tanto, los dos números impares negativos y consecutivos cuya suma de sus cuadrados sea 130 son -9 y (-9 + 2), es decir -9 y -7.

Ejercicio 3

Averiguar al menos dos ecuaciones cuadráticas cuyas raíces sean -4 y 1.

Solución:

La relación entre las raíces de una ecuación cuadrática y sus coeficientes hemos visto que es:

La suma de las raíces es -4 + 1 = 3 mientras que su producto resulta -4 · 1 = -4.

Ya se pueden escribir dos ecuaciones cuadráticas que cumplan que sus raíces sean las dadas, solamente con darle al parámetro a dos valores cualquiera, como por ejemplo a = 1 o a = -2.

Estas ecuaciones serán:

En la gráfica de ambas funciones se comprueba que en las dos, sus raíces son -4 y 1.