Una función biyectiva es una función f que es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Es decir, si todo elemento del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde (condición de función sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto inicial X tiene una única imagen en el conjunto final Y (condición de función inyectiva).
Digamos que no puede quedarse ningún elemento en el conjunto final Y solo, sin asociarse con un único elemento del conjunto inicial X.
Formalmente, una función f es biyectiva si:
Ejercicio 1
Sea la función f(x) = 2x definida en los números reales. Esta función es biyectiva.
Para comprobarlo, veamos que f es inyectiva y sobreyectiva. Empezaremos por la condición de inyectividad:
Se cumple la condición de inyectividad, por lo que ahora nos quedaría demostrar la sobreyectividad. Para ello, tenemos que demostrar que el recorrido de la función son todos los números reales.
La función también es sobreyectiva, por lo que f es biyectiva.
Ejercicio 2
En este segundo ejemplo, sea la función f(x) = x2-1. Esta función no es biyectiva.
En la gráfica ya podemos observar como la función es igual en x = -2 y en x = 2, por lo tanto la función no puede ser inyectiva. Para verlo formalmente, veamos que no se cumple la condición de inyectividad:
Como x y y pueden ser diferentes, ya que x y –x tienen la misma imagen, f no es inyectiva. Por lo tanto, f no es biyectiva.
Propiedad
Si f es una función biyectiva, entonces su función inversa f-1 también es biyectiva.
Toda funcion creciente es biyectiva ?
No siempre. Es inyectiva, si es estrictamente creciente, en todo su dominio.
Pero si el rango es diferente al codominio, no es sobreyectiva y, por lo tanto, no biyectiva.
Por ejemplo una función exponencial mayor que cero es estrictamente creciente pero el rango es el conjunto de los reales positivos, diferente del dominio, que son todos los reales.
Una función biyectiva si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada
¿QUIEN ES EL AUTOR Y EN QUE FECHA EN QUE FUE PUBLICADO?
¿Quien es el autor de la informacion y la fecha de publicado?
como se lee o se explica el primer ejemplo?
Comprueba la condición de inyectividad en la función inyectiva.
Saludos
nesesito ejemplos
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