La continuidad en un punto estudia si una función es continua en un punto. También se puede estudiar la continuidad en un intervalo o la continuidad lateral.
Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo. Diríamos que es continua si puede dibujarse sin separar el lápiz de la hoja de papel.
En particular, una función f es continua en un punto x = a si cumple las siguientes condiciones:
- La función f existe en a, es decir, existe la imagen de a.
- Existe el límite de f en el punto x = a:
- La imagen de a y el límite de la función en a coinciden.
En el caso de que en un punto x = a no se cumpla alguna de las tres condiciones, se dice que la función es discontinua en a.
Nota: se expresa en el caso 1 con un punto hueco para indicar que ese punto no se incluye en la gráfica.
Ejemplo
Estudiar la continuidad o discontinuidad en x=1 y x=4 de la siguiente función definida a trozos:
Veamos primero si es continua en x=1, viendo que se cumplen las tres condiciones:
- La función f existe en 1 y su imagen es:
- Existe el límite de f en el punto x = 1:
- La imagen de 1 y el límite de la función en 1 coinciden:
Se cumplen las tres condiciones de continuidad en un punto, por lo que la función es continua en x=1.
Ahora veamos si es continua en el punto x=4
Como la función no tiene límite en 4, podemos decir que f es discontinua en x=4.
Por lo tanto, la función f es continua en x=1 pero discontinua en x=4.
Los tres condiciones de continuidad bien comprendidas, gracias.
muy bueno, gracias!
Gracias !!
Me ha ayudado a entenderlo
Tengo que resolver unos ejercicios pero no tengo tiempo pueden ayudarme