Continuidad en un punto

Continuidad en un punto

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La continuidad en un punto estudia si una función es continua en un punto. También se puede estudiar la continuidad en un intervalo o la continuidad lateral.

Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo. Diríamos que es continua si puede dibujarse sin separar el lápiz de la hoja de papel.

En particular, una función f es continua en un punto x = a si cumple las siguientes condiciones:

Dibujo de una función continua en un punto.
  1. La función f existe en a, es decir, existe la imagen de a.
    Condición de existencia de imagen en la continuidad en un punto.
  2. Existe el límite de f en el punto x = a:
    Condición de existencia del límite en la continuidad en un punto.
  3. La imagen de a y el límite de la función en a coinciden.
    Condición de igualdad de la imagen y del límite en la continuidad en un punto.

En el caso de que en un punto x = a no se cumpla alguna de las tres condiciones, se dice que la función es discontinua en a.

Dibujo de los tres casos en los que una función es discontinua en un punto.

Nota: se expresa en el caso 1 con un punto hueco para indicar que ese punto no se incluye en la gráfica.

Ejemplo

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Estudiar la continuidad o discontinuidad en x=1 y x=4 de la siguiente función definida a trozos:

Fórmula de una función definida a trozos para el estudio de la continuidad en el punto 1
Gráfica de una función definida a trozos para el estudio de la continuidad en el punto 1

Veamos primero si es continua en x=1, viendo que se cumplen las tres condiciones:

Se cumplen las tres condiciones de continuidad en un punto, por lo que la función es continua en x=1.

Ahora veamos si es continua en el punto x=4

Como la función no tiene límite en 4, podemos decir que f es discontinua en x=4.

Por lo tanto, la función f es continua en x=1 pero discontinua en x=4.


AUTOR: Bernat Requena Serra


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5 comentarios en “Continuidad en un punto”

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