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Cálculo de límites por funciones equivalentes

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Dos funciones f(x) y g(x) son equivalentes en a si se cumple la condición:


Condición para que dos funciones sean equivalente en a

Y se escribe así:


Condición 2 para que dos funciones sean equivalente en a

O, dicho de otra manera, el límite de su cociente es 1. (O, también, que ambas funciones deben tener el mismo límite en a).

El valor de a puede ser cualquier número real o ±∞.

Ejercicio

Pongamos un ejemplo:


Límite del ejemplo 1 para que dos funciones sean equivalente en a

Las dos funciones, en el numerador y la del denominador, son equivalentes en +∞.

La equivalencia de funciones tiene utilidad en matemáticas en el caso de funciones equivalentes en las que su límite en x → a sea 0 (infinitésimos equivalentes) o en las funciones equivalentes en las que su límite en x → a sea +∞ o -∞(infinitos). Facilita el cálculo de indeterminaciones.

Deben sustituirse funciones equivalentes (infinitésimos o infinitos) en productos o cocientes de funciones, no en su suma o resta, ya que serían indeterminaciones.

Por lo tanto, si f y g son equivalentes en a y una de ellas en un límite en el valor a está como factor o bien como numerador o denominador, entonces f (o g) se puede substituir por la otra función equivalente.

Es decir:


Sustitución por una función equivalente del ejemplo 1 para que dos funciones sean equivalente en a

Infinitésimos

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En límites se dice que un límite de una función f es un infinitésimo cuando su valor es tan pequeño que tiende a cero.

Cálculo de límites por infinitésimos equivalentes

Esta es una tabla de infinitésimos equivalentes cuando, en estas funciones x → 0:


Tabla de infinitésimos equivalentes cuando x tiende a 0 en cálculo de límites por funciones equivalentes

Equivalencia que no se demostrará, pero que se aprecia la equivalencia de estos infinitésimos cuando x → 0 en la siguiente gráfica:


Gráfica de infinitésimos equivalentes cuando x tiende a 0 en cálculo de límites por funciones equivalentes

Dos funciones más cuyos infinitésimos son equivalentes cuando su límite tiende a cero (x → 0):


Ejemplo de infinitésimos equivalentes cuando x tiende a 0 en cálculo de límites por funciones equivalentes

Equivalencia de infinitésimos que se aprecia en la figura cuando la variable x → 0.


Gráfica en el ejemplo de infinitésimos equivalentes cuando x tiende a 0 en cálculo de límites por funciones equivalentes

Estos son dos casos de infinitésimos equivalentes cuando, en estas funciones x → 1:


Ejemplo de infinitésimos equivalentes cuando x tiende a 1 en cálculo de límites por funciones equivalentes

Como se aprecia en la figura.


Gráfica en el ejemplo de infinitésimos equivalentes cuando x tiende a 1 en cálculo de límites por funciones equivalentes

En la gráfica se muestran dos pares de casos de infinitésimos equivalentes cuando x → 1:


Gráfica 2 en el ejemplo de infinitésimos equivalentes cuando x tiende a 1 en cálculo de límites por funciones equivalentes

Ejercicios para practicar

  1. Ejercicio 1. Hallar el siguiente límite por infinitésimos equivalentes:


    Ejemplo de práctica 1 de infinitésimos en cálculo de límites por funciones equivalentes

  2. Ejercicio 2. Hallar el siguiente límite por infinitésimos equivalentes:


    Ejemplo de práctica 2 de infinitésimos en cálculo de límites por funciones equivalentes

  3. Ejercicio 3. Hallar el siguiente límite por infinitésimos equivalentes:


    Ejemplo de práctica 3 de infinitésimos en cálculo de límites por funciones equivalentes

  4. Ejercicio 4. Hallar el siguiente límite por infinitésimos equivalentes:


    Ejemplo de práctica 4 de infinitésimos en cálculo de límites por funciones equivalentes

Órdenes de infinito

Si en dos funciones f(x) y g(x), cuando x tiende a a y sus límites tienen un valor ±∞, si el cociente de ambos límites es 1, entonces ambos límites infinitos son equivalentes.


Condición 3 para que dos funciones sean equivalente en a

Comparación de infinitos

El orden de un infinito se refiere a la mayor rapidez en que la función correspondiente crece (o decrece) hacia el infinito.

El orden de infinito va a ser de mucha utilidad para resolver límites indeterminados, especialmente los del tipo ∞/∞.

Veamos la comparación de los órdenes de infinitos fundamentales, puestos de mayor a menor orden. Sus límites tienden a ∞:


Comparación 1 de infinitos fundamentales

La comparación de los órdenes de infinitos fundamentales aparecen aquí ordenados en su expresión básica.


Comparación 2 de infinitos fundamentales

Como se puede ver en la figura:


Gráfica de la comparación de infinitos fundamentales

  1. Función exponencial-potencial en la que k > 0.
  2. Función exponencial en la que k > 1. En este tipo de infinitos tendrá un orden mayor la que tenga mayor la base. (P. ej. 5x > 3x.
  3. Función potencial en la que k > 0. En este tipo de infinitos tendrá un orden mayor la que tenga mayor la base. (P. ej. 5x > 3x.
  4. Función logarítmica en la que k > 0. En este tipo de infinitos tendrá un orden mayor la que tenga la base del logaritmo menor. (P. ej. log2x3 > log4x3).

Si el orden del infinito en a de f(x) es mayor que el de g(x) entonces:


Orden del infinito si f es mayor que g en la comparación de infinitos

Si el orden del infinito en a de f(x) es menor que el de g(x) entonces:


Orden del infinito si f es menor que g en la comparación de infinitos

Si el orden del infinito en a de f(x) es igual al de g(x) entonces:


Orden del infinito si f es igual que g en la comparación de infinitos

No se pueden comparar dos infinitos de dos funciones en a si el límite de su cociente no existe.


Condición de cuando no se puede realizar la comparación de infinitos

El orden de la suma de dos infinitos de distinto orden equivale al infinito de orden mayor.


Fórmula de la suma de dos infinitos en la comparación de infinitos

Ejercicios para practicar

  1. Ejercicio 1


    Ejercicio 1 en la comparación de infinitos

    La simplificación en el numerador se ha realizado por comparación de infinitos fundamentales (suma).

  2. Ejercicio 2


    Ejercicio 2 en la comparación de infinitos

  3. Ejercicio 3


    Ejercicio 3 en la comparación de infinitos

Los límites de los tres ejercicios se han resuelto tomando el término de mayor orden, por comparación de órdenes de infinito.

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